[論文レビュー] Large-dimensional Factor Analysis without Moment Constraints

Yong He, Xinbing Kong+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Spatial and Panel Data Analysis参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モーメント制約なしに大スケールな多次元データに対して頑健な2段階因子分析手法を提案する。因子空間推定には空間 Kendall のタイ行列を、因子スコア推定にはOLS回帰を用いる。楕円分布下では、重たい尾を持つデータに対しても因子負荷量、スコア、共通成分の推定が一貫的であり、収束速度が確立され、古典的PCAに比べて有限標本性能が優れている。

ABSTRACT

Large-dimensional factor model has drawn much attention in the big-data era, in order to reduce the dimensionality and extract underlying features using a few latent common factors. Conventional methods for estimating the factor model typically requires finite fourth moment of the data, which ignores the effect of heavy-tailedness and thus may result in unrobust or even inconsistent estimation of the factor space and common components. In this paper, we propose to recover the factor space by performing principal component analysis to the spatial Kendall's tau matrix instead of the sample covariance matrix. In a second step, we estimate the factor scores by the ordinary least square (OLS) regression. Theoretically, we show that under the elliptical distribution framework the factor loadings and scores as well as the common components can be estimated consistently without any moment constraint. The convergence rates of the estimated factor loadings, scores and common components are provided. The finite sample performance of the proposed procedure is assessed through thorough simulations. An analysis of a financial data set of asset returns shows the superiority of the proposed method over the classical PCA method.

研究の動機と目的

• 重たい尾を持つデータにおいて、4次のモーメントが有限であるという仮定に依存する古典的因子分析手法の不一致を是正すること。
• ファイナンスやゲノム分野で一般的な重たい尾の挙動を示すデータに対しても、一貫的かつ頑健な因子推定手順を開発すること。
• 因子および個別誤差にモーメント制約を課さずに、因子負荷量、スコア、共通成分の推定の一貫性を維持すること。
• 高次元設定における古典的PCAやOLSに基づく因子モデルの理論的裏付けが明確な頑健な代替手法を提供すること。

提案手法

• 標本分散共分散行列の代わりに空間 Kendall のタイ行列に対する主成分分析（PCA）を実行することで、因子空間を推定する。
• 楕円分布下で散乱行列の固有空間を保持する空間 Kendall のタイ行列を用いることで、重たい尾に対する頑健性を実現する。
• 第2段階で、第1段階で得られた因子負荷量を用いて、通常最小二乗法（OLS）回帰を適用して因子スコアを推定する。
• 楕円分布の極化性を利用することで、直交変換を除いて因子スコアの一貫性を保証する。
• 楕円因子モデル枠組み下で、推定因子負荷量、スコア、共通成分の収束速度を確立する。
• コーシー・シュワルツの不等式および固有値分解の漸近的性質といった理論的道具を用いて、一貫性および収束速度の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次のモーメントが仮定されない重たい尾を持つデータにおいて、因子空間推定が一貫性を保つことができるか？
• RQ2 標本分散共分散行列の代わりに空間 Kendall のタイ行列を用いることで、大スケール因子モデルにおける頑健な因子負荷量およびスコアが得られるか？
• RQ3 モーメント制約なしの楕円因子モデル下で、推定因子負荷量、スコア、共通成分の収束速度は何か？
• RQ4 重たい尾を持つ分布下での有限標本において、提案手法の2段階頑健手順は古典的PCAに比べてどのように異なるか？
• RQ5 因子および個別誤差にモーメントが有界であると仮定しない状況でも、共通成分の一貫した推定が可能か？

主な発見

• 提案手法である頑健2段階（RTS）手順は、データにいかなるモーメント制約も課さずに、楕円因子モデル下で因子負荷量およびスコアの一貫した推定を達成する。
• 推定因子負荷量の収束速度は $ O_p(1/n + 1/p^2) $、因子スコアの収束速度は $ O_p(1/n^2 + 1/p) $ であり、良好な有限標本性能を示す。
• 共通成分の推定は $ O_p(1/n + 1/p) $ の収束速度で一貫的であり、本手法の頑健性を裏付ける。
• シミュレーションでは、重たい尾を持つ $ t $ 分布誤差下で、RTS手法が古典的PCAに比べてバイアスと分散の両面で顕著に優れていることが示された。
• 金融資産リターンに対する実証的分析から、RTS手法が現実の重たい尾を持つデータ環境下でPCAを上回ることを確認した。
• 理論的証明により、$ \widehat{\mathbf{H}}^\top \mathbf{V} \widehat{\mathbf{H}} \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{I}_m $ が成立することが示され、推定フレームワークにおける直交変換の一貫性が検証された。