[論文レビュー] Large-distance and long-time asymptotic behavior of the reduced density matrix in the non-linear Schrödinger model

Karol K. Kozłowski|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2011

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体積における形式因子展開を用いて、非線形シュレーディンガー模型における時間および距離に依存する縮約密度行列の多次元一般化であるNatte級数を導出する。これにより、相互作用的可積分模型における相関関数の正確な漸近的解析が可能となり、長距離/長時間の振る舞いが等価な自由フェルミオン系に写像されることで、フェルミ面を越えた励起状態の寄与が明らかになる。これはCFT/Luttinger液体理論の予測を超えるものである。

ABSTRACT

Starting from the form factor expansion in finite volume, we derive the multidimensional generalization of the so-called Natte series for the zero-temperature, time and distance dependent reduced density matrix in the non-linear Schrödinger model. This representation allows one to extit{read-off} straightforwardly the long-time/large-distance asymptotic behavior of this correlator. This method of analysis reduces the complexity of the computation of the asymptotic behavior of correlation functions in the so-called interacting integrable models, to the one appearing in free fermion equivalent models. We compute explicitly the first few terms appearing in the asymptotic expansion. Part of these terms stems from excitations lying away from the Fermi boundary, and hence go beyond what can be obtained by using the CFT/Luttinger liquid based predictions.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー模型における零温度下での時間および距離に依存する縮約密度行列に対する正確な漸近的表現を導出すること。
• Natte級数形式主義を多次元積分へと拡張し、相互作用的可積分模型における相関関数の体系的漸近的解析を可能とすること。
• フェルミ境界から離れた励起状態からの寄与を、標準的なCFTやLuttinger液体アプローチでは到達できない範囲で同定すること。
• 相互作用的模型の漸近的挙動とその自由フェルミオン同等物との間の直接的対応関係を確立し、複雑な相関関数の計算を簡略化すること。
• 漸近展開の最初の数項を明示的に計算し、長距離および長時間における崩壊特性に関する定量的洞察を提供すること。

提案手法

• 有限体積における形式因子展開を用いて、縮約密度行列の多次元一般化であるNatte級数を構築する。
• Fredholm行列式で表される相関関数に関連するRiemann–Hilbert問題を解析するため、非線形勾配降下法を適用する。
• Fredholm行列式の contour 積分表現を用い、大$L$極限において contour が区間$[-q, q]$に収束することを示す。
• 非線形積分方程式を解くことにより、密度$ ho^{(L)}$の主要項の振る舞いを導出し、$(I + \frac{\nu}{2\tau} R)\rho = h$を満たす解$ $への収束を示す。
• 離散的な和から生じるRiemann和の近似にEuler–Maclaurin公式を用いる。
• 大$L$極限において、関数$ ilde{\rho}^{(L)}$が$ $に一様収束することを確立し、漸近展開の正当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー模型において、縮約密度行列の長時間および大距離における漸近的挙動を体系的に抽出する方法は何か？
• RQ2 フェルミ面から離れた励起状態からの寄与は、相関関数の漸近的崩壊にどの程度影響を与えるか？
• RQ3 相互作用的可積分模型における相関関数の漸近的挙動を、体系的な解析的枠組みを通じて自由フェルミオン模型のものに還元できるか？
• RQ4 CFTが予測する一次のべき則的崩壊を超えて、縮約密度行列の漸近展開の構造はどのようなものか？
• RQ5 有限体積における形式因子展開は、熱力学的極限における正確な漸近的結果の導出をどのように支援するか？

主な発見

• 本稿では、非線形シュレーディンガー模型における時間および距離に依存する縮約密度行列の正確な漸近的解析を可能にする、多次元一般化されたNatte級数を導出する。
• 漸近展開には、フェルミ境界から離れた励起状態からの寄与が含まれており、これは標準的なCFTやLuttinger液体理論では捉えきれないものである。
• 縮約密度行列の主要項の振る舞いは、Lieb核のリゾルベントを通じて、自由フェルミオン模型と等価であることが示された。
• $L \to \infty$ の極限において、有限体積における非線形積分方程式の解$ ^{(L)}$が$ $に一様収束し、$O(L^{-1})$の誤差項を伴う。
• 関数$ ilde{\rho}^{(L)}$が$U_\rho$上での正則関数空間において$ $に収束することを示し、大$L$極限における漸近展開の正当性を保証する。
• 漸近展開の最初の数項を明示的に計算し、縮約密度行列の長距離および長時間における崩壊特性の定量的記述が得られた。