[論文レビュー] Large Fourier coefficients of half-integer weight modular forms

Sanoli Gun, Winfried Kohnen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、半整数重さのプラス空間に属する非零のカスプ形式が、基本的判別式 |D| において無限に多くの非ゼロフーリエ係数を持つことを確立し、さらに、他の L 関数からの干渉を抑えることで個々の L 関数を分離する洗練された共鳴法を用いて、これらの係数が √(log |D| / log log |D|) に指数的に成長することを示している。

ABSTRACT

This article is concerned with the Fourier coefficients of cusp forms (not necessarily eigenforms) of half-integer weight lying in the plus space. We give a soft proof that there are infinitely many fundamental discriminants $D$ such that the Fourier coefficients evaluated at $|D|$ are non-zero. By adapting the resonance method, we also demonstrate that such Fourier coefficients must take quite large values.

研究の動機と目的

• 任意の非零のカスプ形式が、プラス空間に属する半整数重さにおいて、(−1)^k D > 0 を満たす基本的判別式 D が無限に多く存在し、そのフーリエ係数 c(|D|) が非ゼロであることを証明すること。
• 標準的な境界によって予測されるよりも、特定の基本的判別式 D に対してフーリエ係数 c(|D|) が著しく大きな値をとることを示すこと。
• ヘッケ固有形式に関連する L 関数の線形結合へ共鳴法を拡張し、1 つの L 関数を大きくする一方で、他の L 関数の寄与を小さく保つこと。
• ワルドスピュルガーの公式に依存しない、ソフトな非零係数の証明を提供し、既存の結果（ワルドスピュルガーの公式に依存するもの）を補完すること。

提案手法

• フーリエ係数 c(|D|) と χ_D に関連するディリクレ L 関数から構成される新しいディリクレ級数を構築し、ワルドスピュルガーの公式に依存しない定性的でソフトな非零性証明を実現する。
• 半整数重さのモジュラー形式の文脈に共鳴法を適応させ、特定の L 値を強調するように巧みに選ばれた共鳴多項式を用いる。
• 部分和とランキン＝セルバーグ推定を用いて誤差項を制御し、L(f_ν, χ_D, k) |R(D)|² の重み付き平均の漸近公式を導出する。
• 素数定理と乗法的係数の推定を用いて、共鳴構成における素数積を評価し、主要項が優勢であることを保証する。
• 区間 [1,2] または [1/2,5/2] に台を持つ重み関数 Φ(t) を導入し、ディスクリミナント D の和を dyadic 区間で局所化することで、L 値の平均サイズを精密に制御する。
• ヘッケ固有形式の理論と志村対応を用いて、c(|D|) を中心 L 値 L(f, χ_D, k) に結びつけ、L 関数に対して解析的数論の道具を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非零のカスプ形式 g ∈ S_{k+1/2}^+ に対して、(−1)^k D > 0 を満たす基本的判別式 D が無限に多く存在し、そのフーリエ係数 c(|D|) が非ゼロであるか？
• RQ2 共鳴法は、異なるヘッケ固有形式に関連する L 値の線形結合に対しても適用可能であり、個々の L 関数が相関を持たない場合でも、それらの和を大きくできるか？
• RQ3 基本的判別式 D に対して、フーリエ係数 |c(|D|)| の最大サイズは何か？ また、ラマヌジャン＝ピーターソン予想との比較ではどうなるか？
• RQ4 g がヘッケ固有形式でない場合でも、固有形式の線形結合およびそれに関連する L 関数の構造を活用することで、|c(|D|)| を大きくできるか？

主な発見

• 任意の非零 g ∈ S_{k+1/2}^+ に対して、(−1)^k D > 0 を満たす基本的判別式 D が無限に多く存在し、c(|D|) ≠ 0 である。
• 任意の ε > 0 および十分大きな X に対して、(X, 2X] 内に少なくとも X^{1−ε} 個の基本的判別式 D が存在し、|c(|D|)| ≥ |D|^{k/2 − 1/4} exp( (1/82) √(log |D| / log log |D|) ) を満たす。
• 共鳴法は、1 つの L 関数 f_ν の寄与を明確に分離し、他の f_ν (ν > 1) の寄与を無視できるほど小さく保つことに成功し、L(f_ν, χ_D, k) の強調が干渉なく実現された。
• L(f_ν, χ_D, k)|R(D)|² の平均における主要項は、X · R のオーダーであることが示され、ここで R は [L², L⁴] 内の素数の積であり、ν = 1 の場合、exp( (1/2 + o(1)) L / log L ) のように成長する。
• ν > 1 の場合、L(f_ν, χ_D, k)|R(D)|² の和は O(X) で有界であることが示され、共鳴が不要な L 関数を強調しないことが確認された。
• 導出された |c(|D|)| の下界は、リンデレーフ予想のもとで期待されるオーダーと一致しており、L 関数の成長に関するより強い予想とも整合しており、この下界はほぼ最適であると考えられる。