[論文レビュー] Large gaps between consecutive prime numbers

Kevin Ford, Ben Green+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、エドósの長年の予想を解決し、$ X $ 未満の連続する素数間の最大ギャップ $ G(X) $ が、$ X \to \infty $ のとき $ f(X) \to \infty $ となる関数 $ f(X) $ を用いて $ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ を満たすことを証明している。証明は、区間を被覆する算術級数の確率的構成と、最近得られた長大な素数算術級数に関する結果を組み合わせることで、素数数定理が予測する平均ギャップよりも大きなギャップを次第に大きくすることを実現している。

ABSTRACT

Let $G(X)$ denote the size of the largest gap between consecutive primes below $X$. Answering a question of Erdos, we show that $$G(X) \geq f(X) \frac{\log X \log \log X \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2},$$ where $f(X)$ is a function tending to infinity with $X$. Our proof combines existing arguments with a random construction covering a set of primes by arithmetic progressions. As such, we rely on recent work on the existence and distribution of long arithmetic progressions consisting entirely of primes.

研究の動機と目的

• Paul Erdősが提起した予想を解決すること。すなわち、$ X $ 未満の連続する素数間の最大ギャップ $ G(X) $ が、平均ギャップ $ \sim \log X $ の任意の定数倍を超える可能性があるというものである。
• 固定された倍数よりも速く増大する $ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ の下界を定量的に確立すること。ここで $ f(X) \to \infty $ である。
• Rankinの下界 $ G(X) \geqslant (c+o(1)) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ の定数 $ c $ が、任意に大きくとれる、つまり、すべての先行結果を上回ることを示すこと。
• 確率的構成と長大な素数算術級数に関する結果を組み合わせる新しい手法を提供することにより、この向上を達成すること。

提案手法

• 小さな素数 $ p \leq x $ に対する剰余類の集合を構成し、それが区間 $[1, y]$ を被覆するようにする。このとき $ Y(x) $ を最大の such $ y $ として定義する。
• 中国剰余定理を用いて、ある $ p \leq x $ に対して $ m + t \equiv 0 \pmod{p} $ となるような数 $ m $ を構成し、$ 1 \leq t \leq y $ の範囲で $ m + t $ が合成数であることを保証する。
• 区間 $[1, y]$ を被覆する剰余類を確率的構成で選択し、確率的推定に基づいて高確率で被覆が達成されることを保証する。
• 被覆系に必要な構造を保証するために、最近得られた素数からなる長大な算術級数の存在に関する結果を活用する。
• 確率的構成下での算術級数内の素数分布をモデル化するため、シフトされたバージョンを含む修正された von Mangoldt 型関数 $ \tilde{\nu} $ を用いる。
• スieve理論的解析における誤差項を制御するため、Gowers 統一性ノルムを介して相関および一様性ノルムを確立し、構成された区間が実際に小さな素数の因数で被覆されていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rankinの $ G(X) $ の下界における定数 $ c $ は、Erdősの予想通り、任意に大きくとれるか？
• RQ2 任意に長い連続する合成数の列を $ X $ 未満で構成可能か？ その長さは、$ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ の任意の固定倍数よりも速く増大するか？
• RQ3 小さな素数の剰余類の確率的構成を用いて、このような大きなギャップを達成可能か？ その際、長大な素数算術級数の存在に依存できるか？
• RQ4 確率的被覆と長大な素数算術級数に関する結果を組み合わせることで、$ G(X) $ の下界にどのような定量的改善が得られるか？

主な発見

• 論文は、$ X \to \infty $ のとき $ f(X) \to \infty $ となる関数 $ f(X) $ を用いて、$ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ を確立し、Erdősの予想を裏付けた。
• この下界は、Rankin や Schönhage、Pintz の先行研究をすべて上回り、下界における定数 $ c $ を任意に大きくできる。
• 証明は、区間 $[1, y]$ を被覆する新しい確率的構成に基づく。ここで $ y = Y(x) $ であり、中国剰余定理を用いてサイズ $ y $ のギャップを生成する。
• この方法は、最近の長大な素数算術級数の存在と分布に関する進展に依存しており、構成の成功に不可欠である。
• 著者らは、下界が平均ギャップの任意の固定倍数を上回ることを示し、Cramérの確率的モデルと整合的であるが、依然として予想される $ \log^2 X $ の挙動には達していないことを示した。
• この結果は、Maynardがスieve理論的手法を用いて独立に確認しており、今後の研究で両手法を組み合わせることでさらなる向上が可能であることが示された。