[論文レビュー] Large gaps between consecutive zeros, on the critical line, of the Riemann zeta-function

Johan Bredberg|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、臨界線上のリーマン・ゼータ関数の非自明な零点の連続するもの間の最大ギャップに対する下界を確立し、十分に大きな $ T $ に対して、$[T, 2T]$ の部分区間で零点を含まない長さが少なくとも $ 2.766 imes \frac{2\pi}{\log T} $ のものが存在することを証明している。証明は、モリフィアの技法と、注意深く構築された関数 $ P(t,u,v,\kappa) $ にウィーリングの不等式を適用した背理法を組み合わせたハイブリッド手法を用いる。すべてのギャップが $ \kappa / \log T $ 以下であると仮定すると、大規模な零点なし区間が存在しない場合に矛盾が生じる。

ABSTRACT

We show that for any sufficiently large $T,$ there exists a subinterval of $[T,2T]$ of length at least $2.766 imes \frac{2π}{\log{T}},$ in which the function $t \mapsto ζ(1/2 + it)$ has no zeros.

研究の動機と目的

• 臨界線上のリーマン・ゼータ関数の非自明な零点の連続するものの間の最大ギャップに対する定量的下界を確立すること。
• セルバーグの1946年結果を上回る、正規化されたギャップの上極限に関する従来の未条件付き結果を改善すること。
• 補助関数 $ P(t,u,v,\kappa) $ のすべての零点が密に配置されているという仮定のもとで、大規模な零点なし区間が存在しなければならないことを示すこと。
• ウィーリングの不等式と $ P $ 及びその微分の $ L^2 $-ノルムの漸近的解析に基づく背理法を用いて、主要な結果を導出すること。

提案手法

• 補助関数 $ P(t,u,v,\kappa) = \exp(vi\theta(t)) M(\frac{1}{2}+it) \zeta(\frac{1}{2}+it) \zeta(\frac{1}{2}+it+\frac{i\kappa}{\log T}) $ を定義する。ここで $ M(s) $ は切り捨てられたディリクレ級数、$ \theta(t) $ はリーマン＝ジーゲルのシータ関数である。
• 区間 $[T, 2T - \frac{\kappa}{\log T}]$ 内の $ P(t,u,v,\kappa) $ のすべての零点が $ \frac{\kappa}{\log T} $ 以内に分離されていると仮定し、大規模な零点なし区間が存在しない場合に矛盾を導く。
• 零点区間における $ P $ の $ L^2 $-ノルムにウィーリングの不等式を適用し、不等式 $ \int |P|^2 \leq \left(\frac{\kappa}{\pi \log T}\right)^2 \int |P'|^2 $ を得る。
• 重み関数 $ w_-(t) $ および $ w_+(t) $ を導入して積分を局所化し、端点付近の挙動を制御し、重要な不等式 (11) を得る。
• $ M(s) $、$ \zeta(s) $ 及びその微分の積の $ L^2 $-ノルムの漸近的展開を用い、関数 $ f $ および $ g $ を用いて主項をモデル化する。
• コーシーの積分公式を用いて、$ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ のシフトに関する主な漸近的公式を微分し、積分内でのゼータ関数の微分を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界線上のリーマン・ゼータ関数の非自明な零点の連続するものの間の最大ギャップに対する、未条件付きで得られる最良の下界は何か？
• RQ2 ある補助関数 $ P(t,u,v,\kappa) $ のすべての零点が密に配置されているという仮定が、大規模な零点なし区間の存在を示唆する背理的矛盾を引き起こすことはできるか？
• RQ3 最大ギャップのサイズは平均ギャップ $ \frac{2\pi}{\log T} $ と比べてどの程度か？ そして、これは未条件付きに定量的に表現可能か？
• RQ4 モリフィアの技法と $ L^2 $-ノルムの推定値を、ウィーリングの不等式のような不等式と組み合わせることで、零点なし領域をどのように導けるか？

主な発見

• この論文は、任意の十分に大きな $ T $ に対して、$[T, 2T]$ の部分区間で長さが少なくとも $ 2.766 \times \frac{2\pi}{\log T} $ のものが存在し、$ \zeta(\frac{1}{2} + it) $ の非自明な零点を含まないことを証明している。
• この結果は、リーマン予想を仮定した場合、連続する零点間の正規化されたギャップの上極限 $ \lambda $ に対して $ \lambda \geq 2.766 $ が成り立つことを示唆している。
• 背理法の根拠は、$ P(t,u,v,\kappa) $ のすべての零点が $ \kappa / \log T $ 以内に集中していると仮定することにあり、$ P $ と $ P' $ の $ L^2 $-ノルムを比較することで、ギャップが小さすぎると矛盾が生じる。
• $ P $ 及びその微分の $ L^2 $-ノルムの漸近的解析は、切り捨てられたディリクレ級数の算術平均とその対数微分をモデル化する関数 $ f $ および $ g $ を含む精密な展開に依存している。
• この手法では、コーシーの積分公式を用いて主な漸近的公式を微分し、積分内でのゼータ関数の微分を制御している。
• 最終的な矛盾は、$ P $ の $ L^2 $-ノルムとその微分のノルムの大きさを比較することによって導出され、ギャップが小さすぎると、前者が後者によって有界にできないことが示された。