[論文レビュー] Large genus asymptotics for lengths of separating closed geodesics on random surfaces

Xin Nie, Yunhui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、大きな genus $g$ のランダムな双曲的表面における、Weil-Petersson 測度に関して、分離する短縮長および関連する幾何的量の漸近的挙動を確立する。$g \to \infty$ のとき、一般に成り立つ表面は、長さがおおよそ $2\log g - 4\log\log g$ の分離する短縮長を持ち、幅 $\frac{1}{2}\log g - \frac{3}{2}\log\log g$ の半コラールを有し、最短の分離的閉じたマルチ測地線の長さも $\sim 2\log g$ となることが、高い確率で成り立つ。これらの結果は、高 genus の双曲幾何における極値的幾何的不変量の理解を精緻化する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate basic geometric quantities of a random hyperbolic surface of genus $g$ with respect to the Weil-Petersson measure on the moduli space $\mathcal{M}_g$. We show that as $g$ goes to infinity, a generic surface $X\in \mathcal{M}_g$ satisfies asymptotically: (1) the separating systole of $X$ is about $2\log g$; (2) there is a half-collar of width about $\frac{\log g}{2}$ around a separating systolic curve of $X$; (3) the length of shortest separating closed multi-geodesics of $X$ is about $2\log g$. As applications, we also discuss the asymptotic behavior of the extremal separating systole, the non-simple systole and the expectation value of lengths of shortest separating closed multi-geodesics as $g$ goes to infinity.

研究の動機と目的

• ランダムな双曲的表面の genus $g$ に対して、$g \to \infty$ のときの分離する短縮長の漸近的挙動を特定すること。
• Weil-Petersson ランダムモデルにおける分離的短縮曲線の周りの半コラールの存在と幅を分析すること。
• 高 genus における最短の分離的閉じたマルチ測地線の長さとその位相的型を研究すること。
• 分離する短縮長の期待値を確立し、極値的幾何的不変量の漸近的分布と関連付けること。
• ランダムな表面理論における未解決の問題に対応し、短縮幾何の結果を分離曲線およびマルチ測地線に拡張すること。

提案手法

• Mirzakhaniの体積漸近展開とWeil-Petersson測度を用いて、$\mathcal{M}_g$ 上の幾何的不変量の統計的挙動を分析すること。
• コラール補題と双曲幾何を応用し、分離的測地線の周りの半コラールの幅を評価すること。
• 分離する短縮長が $2\log g - 4\log\log g \pm \omega(g)$ のまわりにきつく集中するように、厚みのある集合 $\mathcal{B}(\omega(g))$ を構成すること。
• 確率的濃度論的議論を用いて、漸近的境界を満たす確率が $g \to \infty$ のとき 1 に近づくことを示すこと。
• [PWX21] の期待短縮長に関する結果を活用し、$\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1] \sim 2\log g$ の境界を導出すること。
• 1つの穴あきトーラスまたは3つの穴あき球面を囲むマルチ測地線の数え上げに問題を還元し、期待値が $\sim \frac{L^2 e^{L/2}}{g}$ に漸近することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \to \infty$ のとき、ランダムな双曲的表面の最短の分離的単純閉測地線の漸近的長さは何か？
• RQ2 一般に成り立つランダムな表面は、その分離的短縮長の周りに幅 $\sim \frac{1}{2}\log g$ の半コラールを有するか？
• RQ3 一般に成り立つ表面における最短の分離的閉じたマルチ測地線は、位相的に分離的短縮長、すなわち1つの穴あきトーラスを切り取るものか？
• RQ4 $g \to \infty$ のとき、最短の分離的閉じたマルチ測地線の期待長さの漸近的挙動は何か？
• RQ5 固定された $m$ に対して、$g \to \infty$ のとき $\mathcal{M}_g$ 上での $m$-番目の幾何的チーバー定数はどのように漸近的に振る舞うか？

主な発見

• $g \to \infty$ のとき、一般に成り立つ表面 $X \in \mathcal{M}_g$ の分離する短縮長 $\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X)$ は、$|\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$ を満たし、確率が 1 に近づく。ここで $\omega(g) \to \infty$ かつ $\omega(g)/\log\log g \to 0$ である。
• 高い確率で、分離する短縮長は1つの穴あきトーラス $S_{1,1}$ を切り取る。これは、一般に成り立つ表面におけるその位相的型を確認する。
• 一般に成り立つ表面は、$S_{g-1,1}$ 成分において、その分離的短縮曲線の周りに幅 $\frac{1}{2}\log g - \left(\frac{3}{2} + \epsilon\right)\log\log g$ の半コラールを有する。
• $g \to \infty$ のとき、最短の分離的閉じたマルチ測地線 $\mathcal{L}_1(X)$ の長さは、$|\mathcal{L}_1(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$ を満たし、確率が 1 に近づく。
• 期待長さ $\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1]$ は $2\log g$ に漸近的に近づく。これは[PWX21]の予想を確認する。
• 最初の幾何的チーバー定数 $H_1(X)$ は、$g \to \infty$ のとき確率が 1 に近づく中で、$\left(1 - \epsilon\right)\frac{\log g}{\pi} < H_1(X) < \frac{\log g}{\pi}$ を満たす。