[論文レビュー] Large girth graphs with bounded diameter-by-girth ratio

Goulnara Arzhantseva, Arindam Biswas|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$SL_n(\mathbb{Z})$ の自由部分群とその素数を法とする還元を用いて、任意に大きなゴーストと有界な直径対ゴースト比をもつ4正則有限グラフの明示的族を構成する。$SL_n(\mathbb{F}_p)$ のこれらの行列によって生成されるケイリー・グラフは、ゴースト $\geq c_n\log p$ および直径 $O(\log p)$ を持ち、$n \geq 2$ のすべての次元で、最初の有界直径対ゴースト比をもつ明示的拡張子を実現する。

ABSTRACT

We provide an explicit construction of finite 4-regular graphs $(\Gamma_k)_{k\in \mathbb N}$ with ${ ext{girth}\, \Gamma_k o\infty}$ as $k o\infty$ and $\frac{ ext{diam}\, \Gamma_k}{ ext{girth}\,\Gamma_k}\leqslant D$ for some $D>0$ and all $k\in\mathbb{N}$. For each dimension $n\geqslant 2,$ we find a pair of matrices in $SL_{n}(\mathbb{Z})$ such that (i) they generate a free subgroup, (ii)~their reductions $\bmod\, p$ generate $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ for all sufficiently large primes $p$, (iii) the corresponding Cayley graphs of $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ have girth at least $c_n\log p$ for some $c_n>0$. Relying on growth results (with no use of expansion properties of the involved graphs), we observe that the diameter of those Cayley graphs is at most $O(\log p)$. This gives infinite sequences of finite $4$-regular Cayley graphs as in the title. These are the first explicit examples in all dimensions $n\geqslant 2$ (all prior examples were in $n=2$). Moreover, they happen to be expanders. Together with Margulis' and Lubotzky-Phillips-Sarnak's classical constructions, these new graphs are the only known explicit large girth Cayley graph expanders with bounded diameter-by-girth ratio.

研究の動機と目的

• 任意に大きなゴーストと有界な直径対ゴースト比をもつ4正則有限グラフの明示的族を構成すること。
• 既知の大きなゴーストをもつケイリー・グラフ拡張子の構成法を、$n=2$ の場合に限らず、すべての $n \geq 2$ に拡張すること。
• 拡張性に依存せず、成長性の性質に依存する手法を提供することで、直径対ゴースト比が有界であることを保証すること。

提案手法

• $n \geq 2$ の各 $n$ に対して、$SL_n(\mathbb{Z})$ に属する自由部分群を生成する2つの行列を構成すること。
• すべての十分に大きな素数 $p$ に対して、これらの行列の還元が $SL_n(\mathbb{F}_p)$ を生成することを保証すること。
• 群の成長性質を用いて、得られるケイリー・グラフの直径を $O(\log p)$ で抑えること。
• ある $c_n > 0$ に対して、ケイリー・グラフのゴーストに下界 $c_n\log p$ を確立すること。
• これらの境界を組み合わせることで、すべての $k$ に対して $\frac{\text{diam}\, \Gamma_k}{\text{girth}\, \Gamma_k}$ が一様に有界であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての次元 $n \geq 2$ において、有界な直径対ゴースト比をもつ明示的4正則ケイリー・グラフ拡張子を構成できるか？
• RQ2 すべての大きな素数 $p$ に対して、$SL_n(\mathbb{F}_p)$ を生成する $SL_n(\mathbb{Z})$ の自由部分群は存在するか？
• RQ3 拡張性の性質に依存せずに、成長論的議論を用いて $SL_n(\mathbb{F}_p)$ のケイリー・グラフの直径を $O(\log p)$ で抑えられるか？
• RQ4 直径対ゴースト比が有界のまま、このようなケイリー・グラフでゴースト $\geq c_n\log p$ を達成することは可能か？
• RQ5 古典的な $n=2$ の場合を越えて、有界な直径対ゴースト比をもつ大きなゴーストの明示的構成は可能か？

主な発見

• 構成されたグラフ $\Gamma_k$ は4正則であり、$k \to \infty$ のときゴーストが無限大に発散する。すなわち $\text{girth}\, \Gamma_k \to \infty$ を満たす。
• $\Gamma_k$ の直径対ゴースト比は、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対してある定数 $D > 0$ で一様に有界であり、成長効率が有界であることを保証する。
• $n \geq 2$ の各 $n$ に対して、$SL_n(\mathbb{Z})$ に属する2つの行列の組が存在し、それらの $p$ を法とする還元がすべての大きな素数 $p$ に対して $SL_n(\mathbb{F}_p)$ を生成する。
• これらの行列に基づく $SL_n(\mathbb{F}_p)$ のケイリー・グラフは、ある $c_n > 0$ に対して、$p$ とは無関係にゴーストが少なくとも $c_n\log p$ 以上である。
• これらのケイリー・グラフの直径は、拡張性を仮定せず、群の成長性質から導かれる $O(\log p)$ 以下である。
• これらのグラフは、すべての次元 $n \geq 2$ において、有界な直径対ゴースト比をもつ最初の明示的例であり、かつ拡張子である。