[論文レビュー] Large global solutions for energy supercritical nonlinear wave equations on \R^{3+1}

Joachim Krieger, Wilhelm Schlag|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、光円錐上で特異であるが、それ以外では滑らかな自己相似解を正則化することにより、$\mathbb{R}^{3+1}$ 上のエネルギー超臨界非線形波動方程式 $\Box u = \pm u^7$ に対して、全域的で $C^∞$-滑らかな解を構成する。その解は、$\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}$ 範囲が無限大であるが、任意の $s > 7/6$ に対して $\|(f,g)\|_{\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}} < \infty$ を満たす。解は小さな摂動に対して安定であり、焦点外の場合には、単位球外で任意に大きな振幅を持つ解を構成可能である。

ABSTRACT

For the radial energy-supercritical nonlinear wave equation $$\Box u = -u_{tt} + riangle u = \pm u^7$$ on $\R^{3+1}$, we prove the existence of a class of global in forward time $C^\infty$-smooth solutions with infinite critical Sobolev norm $\dot{H}^{\frac{7}{6}}(\R^3) imes \dot{H}^{\f16}(\R^3)$. Moreover, these solutions are stable under suitably small perturbations . We also show that for the {\em defocussing} energy supercritical wave equation, we can construct such solutions which moreover satisfy the size condition $\|u(0, \cdot)\|_{L_x^\infty(|x|\geq 1)}&gt;M$ for arbitrarily prescribed $M&gt;0$. These solutions are stable under suitably small perturbations. Our method proceeds by regularization of self-similar solutions which are smooth away from the light-cone but singular on the light-cone. The argument crucially depends on the supercritical nature of the equation. Our approach should be seen as part of the program initiated in \cite{KrSchTat1}, \cite{KrSchTat2}, \cite{DoKri}.

研究の動機と目的

• エネルギー超臨界波動方程式 $\Box u = \pm u^7$ に対して、$\mathbb{R}^{3+1}$ 上に全域的で滑らかな解が存在することを確立すること。その解は、$\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}$ 範囲が無限大である。
• このような解が適切に小さな摂動に対して安定であることを示すこと。
• 焦点外の場合に、任意に大きな $L^\infty(|x|\geq 1)$ 範囲を持つ解を構成することにより、原点から離れた領域における強い非線形性を示すこと。
• 方程式の超臨界性を活用して、摂動的でない領域においても大規模な全域的解を構築するプログラムを拡張すること。
• 標準的なストリカルツに基づく小データ理論の適用範囲外にある非摂動的解の構成を提供すること。

提案手法

• 光円錐を除き滑らかだが、光円錐上で特異な自己相似解の正則化。
• 摂動方程式 $-v_{tt} + \Delta v = \mp 7u^6 v^{(j-1)} - \cdots - (v^{(j-1)})^7 + e_i$ を解くために、自由波動伝播作用素 $S(t)$ を用いた反復スキームの使用。
• 反復列を制御するため、臨界的 $L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 空間におけるストリカルツ推定の適用。
• 非線形項 $u^k (v^{(j-1)})^{7-k}$ をバインドするため、分数階のライブニッツ則およびソボレフ埋め込み推定の使用。
• 初期データが大きい場合に対応するため、$\|u\|_{L^{18}_x}$ および $\||\nabla|^{1/6}u\|_{L^9_x}$ に依存する時間区間 $[T, T+\kappa]$ の使用。
• 関数空間内での反復列の収束と帰納的による事前評価の確立により、一様な境界の確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー超臨界波動方程式 $\Box u = \pm u^7$ に対して、$\mathbb{R}^{3+1}$ 上に全域的で滑らかな解が存在し得るか。その解は $\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}$ 範囲が無限大である。
• RQ2 このような解は、臨界ノルムが非常に大きいにもかかわらず、小さな摂動に対して安定であるか。
• RQ3 焦点外の場合に、滑らかで減衰する初期データを持つにもかかわらず、$\{|x| \geq 1\}$ で任意に大きな振幅を持つ解が得られるか。
• RQ4 標準的な小データストリカルツ理論が適用できないにもかかわらず、このような解を非摂動的にどのように構成できるか。
• RQ5 方程式の超臨界性が、このような大規模な解の存在を可能にする役割は何か。

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{R}^{3+1}$ 上の $\Box u = \pm u^7$ に対して、全域的で $C^\infty$-滑らかな解を構成する。その解は $\|(f,g)\|_{\dot{H}^{7/6} \times \dot{H}^{1/6}} = \infty$ を満たすが、すべての $s > 7/6$ に対して $\|(f,g)\|_{\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}} < \infty$ である。
• これらの解は、$L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 内での反復スキームの収束により、適切に小さな摂動に対して安定であることが示された。
• 焦点外の場合には、任意に事前に指定された $M > 0$ に対して、$\|u(0,\cdot)\|_{L^\infty(|x|\geq 1)} > M$ を満たす解が存在し、空間的振幅が任意に大きくとれることを示した。
• この構成は、方程式の超臨界性に強く依存しており、臨界ノルムが無限大であるにもかかわらず解が存在することを可能としている。
• 反復法は、$u$ が小さいとは限らない場合でも、$u$ の大きさに依存する $[T, T+\kappa]$ 区間において $L^6_t L^{18}_x \cap L^\infty_t \dot{H}^{7/6}$ 内で収束し、制御が可能であることを保証している。
• 方程式を微分することで高階の導出項の境界が確立され、最終的な解が $C^\infty$-滑らかであることが確認された。