[論文レビュー] Large groups, Property (tau) and the homology growth of subgroups

Marc Lackenby|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成群に対して二分法を確立する：群が大（非アーベル自由群への有限索引部分群の上への準同型を許容する）であるか、あるいは線形な mod p ホモロジー成長を示す正規 p-部分群のネストされた系列に関して性質 (τ) を持たないかのいずれかである。主な結果は、線形ホモロジー成長と性質 (τ) の欠如を通じて大群を特徴づけ、pro-p 完備化と mod p 係数を用いた Mayer-Vietoris 論法により、群論的性質とホモロジー的およびスペクトル的性質を結びつける。

ABSTRACT

We investigate the homology of finite index subgroups G_i of a given finitely presented group G. Specifically, we examine d_p(G_i), which is the dimension of the first homology of G_i, with mod p coefficients. We say that a collection of finite index subgroups {G_i} has linear growth of mod p homology if the infimum of d_p(G_i)/[G:G_i] is positive. We show that if this holds and each G_i is normal in its predecessor and has index a power of p, then one of the following possibilities must be true: G is large (that is, some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group) or G has Property (tau) with respect to {G_i}. The arguments are based on the geometry and topology of finite 2-complexes. This has several consequences. It implies that if the pro-p completion of a finitely presented group G has exponential subgroup growth, then G has Property (tau) with respect to some nested sequence of finite index subgroups. It also has applications to low-dimensional topology. We use it to prove that a group-theoretic conjecture of Lubotzky-Zelmanov would imply the following: any lattice in PSL(2,C) with torsion is large. We also relate linear growth of mod p homology to the existence of certain important error-correcting codes: those that are `asymptotically good', which means that they have large rate and large Hamming distance.

研究の動機と目的

• ネストされた正規 p-部分群系列における線形な mod p ホモロジー成長を用いて、大群である有限生成群を特徴づけること。
• このような系列に関して、大群性と性質 (τ) の二分法を確立すること。
• ホモロジー的成長を、有限生成群の pro-p 完備化と部分群成長と結びつけること。
• 結果を PSL(2,C) の格子に適用し、GS-τ 猜測と関連付けること。
• その pro-p 完備化において指数的部群成長を示す群の特徴づけを提供すること。

提案手法

• p-べき索引の有限索引正規部分群のネストされた系列を用いてホモロジー成長を分析する。
• 先行研究における Seifert-van Kampen 論法の代わりに、mod p 係数を用いた Mayer-Vietoris 定理を適用する。
• 線形成長を定量化するため、mod p ホモロジー勾配 λ = inf (d_p(G_i) - 1)/[G:G_i] を導入する。
• 索引 p^n の部分正規部分群と、pro-p 完備化 G^(p) の部分群との間の一対一対応に依存する。
• p-群における索引 p の正規部分群の数に関する不等式を用いて、部分群成長 a_p^n^<< (G) を評価する。
• 帰納法と対数的成長推定を用いて、∑r_i と log a_p^n^<< (G) を関連付け、limsup 条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群の大きさは、線形な mod p ホモロジー成長と性質 (τ) の欠如によって特徴づけられるか？
• RQ2 ネストされた p-部分群系列における線形ホモロジー成長と群の pro-p 完備化との関係は何か？
• RQ3 GS-τ 猜測は、PSL(2,C) に属する torsion を含む格子が大群であることを示唆するか？
• RQ4 線形な mod p ホモロジー成長を示すネストされた系列の存在は、pro-p 完備化における指数的部群成長とどのように関係するか？
• RQ5 limsup of (log a_p^n^<< (G))/p^n が正であるのはどのような条件下か、そしてそれは部群構造とどのように関係するか？

主な発見

• 有限生成群 G が大群であることは、線形な mod p ホモロジー成長を示す正規 p-部分群のネストされた系列が存在し、かつ G がその系列に関して性質 (τ) を持たないことに同値である。
• 群 G が線形な mod p ホモロジー成長を示す部分正規 p-部分群のネストされた系列を持つならば、その pro-p 完備化は指数的部群成長を示す。
• (log a_p^n^<< (G))/p^n の limsup が正であることは、G が線形成長を示す部分正規 p-部分群のネストされた系列を持つことに同値である。
• (log a_p^n^<< (G))/p^n の下限が正であることは、まさに線形成長を示すような系列が存在するときに限り成立する。
• このような系列の存在は、索引 p^n の部分正規部分群の数が p^n に関して少なくとも指数的に増加することを意味する。
• GS-τ 猜測は、定理 1.1 の二分法により、PSL(2,C) に属する任意の torsion を含む格子が大群であることを示唆する。