[論文レビュー] Large induced trees in K_r-free graphs

Jacob Fox, Po‐Shen Loh+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、 extremal graph theory における長年の問題を解決し、$r=3$ の場合、$n$ 頂点の連結な $K_r$-free 図形には、$√{n}$ 以上のサイズの誘導木が存在することを証明している。$r \geq 4$ の場合、$½{1}{4} \frac{\log n}{\log r}$ のサイズの誘導木が存在し、これは既知の上界と定数の違いを除いて一致する。証明は、頂点の近傍における反復的分解と帰納法を用い、任意の指定された頂点を通る大きな誘導木を構成する。

ABSTRACT

For a graph G, let t(G) denote the maximum number of vertices in an induced subgraph of G that is a tree. In this paper, we study the problem of bounding t(G) for graphs which do not contain a complete graph K_r on r vertices. This problem was posed twenty years ago by Erdos, Saks, and Sos. Substantially improving earlier results of various researchers, we prove that every connected triangle-free graph on n vertices contains an induced tree of order \sqrt{n}. When r >= 4, we also show that t(G) >= (\log n)/(4 \log r) for every connected K_r-free graph G of order n. Both of these bounds are tight up to small multiplicative constants, and the first one disproves a recent conjecture of Matousek and Samal.

研究の動機と目的

• 連結な $K_r$-free 図形における最大誘導木のサイズに関する既知の上界と下界のギャップを埋めること。
• Matoušek と Šámal が提起した、$t_3(n)$ が $1/2$ より小さいべき乗として増加することを示す予想を解決すること。
• $t_r(n)$、つまり $n$ 頂点の連結な $K_r$-free 図形における最大誘導木の最小サイズについて、漸近的にタイトな境界を与えること。
• このような図形において、任意の頂点を通る大きな誘導木が存在することを示し、元の問題を強化すること。

提案手法

• 中心となる頂点に高い接続性を持つ大きな成分を特定するための反復的近傍分解の使用。
• 近傍における帰納法の適用。$K_r$-freeness を活用して成分の構造を制御する。
• 木の拡張のための互いに非隣接で互いに素な頂点を特定するための、近傍と成分間の補助的二部グラフの構築。
• $r$-正則木における木のサイズの対数的境界を用い、線グラフの性質を通じて下界を導出する。
• $K_r$-free 図形における大きな集合内に非隣接頂点が存在することを保証する、Ramsey理論的議論の適用。
• 背理法による証明。頂点の近傍に十分に多くの大きな成分が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 頂点の連結な三角形なし図形における最大誘導木の最小サイズ $t_3(n)$ の真の漸近的成長は何か？
• RQ2 $t_3(n)$ における $\Omega(\log n / \log \log n)$ と $O(\sqrt{n} \log n)$ の境界のギャップは、閉じられるか？
• RQ3 $r \geq 4$ の場合、既知の対数的上界を踏まえて、$t_r(n)$ の正しいオーダーは何か？
• RQ4 $K_r$-free 図形において、任意の指定された頂点を通る大きな誘導木が保証できるか？
• RQ5 $K_r$-free 図形における最大誘導木のサイズは、独立数と比べてどう異なるか？

主な発見

• すべての $n$ 頂点の連結な三角形なし図形には、$√{n}$ 以上のサイズの誘導木が存在する。これは定数要因を除いてタイトである。
• $r \geq 4$ の場合、すべての連結な $K_r$-free 図形には、$½{1}{4} \frac{\log n}{\log r}$ 以上のサイズの誘導木が存在し、これは既知の上界と定数の違いを除いて一致する。
• $t_3(n) = \Theta(\sqrt{n})$ であるという境界は、Matoušek と Šámal の予想を解決する。彼らは、$√{n}$ より小さいべき乗則を予想していた。
• 証明により、任意の指定された頂点を通る大きな誘導木が存在することが示され、この性質は元の問題と定数の違いを除いて同等である。
• 中心頂点を通る最大誘導木サイズが $√{2n}$ である三角形なし図形の構築により、$√{n}$ の境界がほぼタイトであることが示された。
• 結果は、$K_r$-free 図形における最大誘導木のサイズが漸近的に決定づけられ、さらなる対数的または非多項式的ギャップがないことを示している。