[論文レビュー] Large N algebras and generalized entropy

Venkatesa Chandrasekaran, Geoff Penington+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、AdS/CFTの大きなN極限において、1/N補正なしに単一トレース演算子のマイクロカノニカル集合に特徴づけられるタイプII∞フォン・ノイマン代数を構成する。交差辞書を用いて、ブラックホール分岐表面の一般化されたエントロピーをこの代数のエントロピーとして導出し、ユークリッド重力やレプリカを用いずに、量子補正が加えられたベケンシュタイン＝ホーキングの公式およびQES規則のホログラフィック導出を可能にする。同時に、代数的エントロピーの単調性から一般化第二法則を導出する。

ABSTRACT

We construct a Type II$_\infty$ von Neumann algebra that describes the large $N$ physics of single-trace operators in AdS/CFT in the microcanonical ensemble, where there is no need to include perturbative $1/N$ corrections. Using only the extrapolate dictionary, we show that the entropy of semiclassical states on this algebra is holographically dual to the generalized entropy of the black hole bifurcation surface. From a boundary perspective, this constitutes a derivation of a special case of the QES prescription without any use of Euclidean gravity or replicas; from a purely bulk perspective, it is a derivation of the quantum-corrected Bekenstein-Hawking formula as the entropy of an explicit algebra in the $G o 0$ limit of Lorentzian effective field theory quantum gravity. In a limit where a black hole is first allowed to equilibrate and then is later potentially re-excited, we show that the generalized second law is a direct consequence of the monotonicity of the entropy of algebras under trace-preserving inclusions. Finally, by considering excitations that are separated by more than a scrambling time we construct a "free product" von Neumann algebra that describes the semiclassical physics of long wormholes supported by shocks. We compute Rényi entropies for this algebra and show that they are equal to a sum over saddles associated to quantum extremal surfaces in the wormhole. Surprisingly, however, the saddles associated to "bulge" quantum extremal surfaces contribute with a negative sign.

研究の動機と目的

• ユークリッド重力やレプリカのテクニックに依存せずに、AdS/CFTにおけるブラックホールホライズンの一般化エントロピーを導出すること。
• マイクロカノニカル集合における大N物理を記述する単一トレース演算子に特徴づけられるタイプII∞フォン・ノイマン代数を構成すること。
• この代数のエントロピーが、交差辞書を用いることで、量子補正が加えられたベケンシュタイン＝ホーキングの公式を再現することを示すこと。
• 部分代数へのトレース保存包含写像の下での代数的エントロピーの単調性から、一般化第二法則を導出すること。
• ショック波励起を伴う長いワームホールに対して、自由積フォン・ノイマン代数を構成し、量子極小表面の saddle ポints を用いてRényiエントロピーを計算すること。この際、「バルジ」表面からの負の寄与を含む。

提案手法

• マイクロカノニカル集合における大N単一トレースCFT演算子の極限からタイプII∞フォン・ノイマン代数を構成する。
• 境界の代数的構造を、ブラックホール分岐表面における一般化エントロピーに写像するため、交差辞書を用いる。
• 時間並進対称性をモデル化するため、コン pact な非アーベル群 G を用いたクロス積構成を適用し、ボリュームQFTに双対する代数的構造を導出する。
• ピーター＝ワイエル分解とモジュラー理論を用いて、境界とボリューム代数の間の同型写像がトレース保存であることを証明する。
• 部分代数へのトレース保存包含写像の下での代数的エントロピーの単調性から、一般化第二法則を導出する。
• ショック波励起を伴う長いワームホールに対して、自由積フォン・ノイマン代数を構成し、Rényiエントロピーを量子極小表面の saddle ポイントの和として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ユークリッド重力やレプリカを用いずに、境界フォン・ノイマン代数からブラックホールホライズンの一般化エントロピーを導出できるか？
• RQ2 マイクロカノニカル集合の大N極限におけるボリューム量子場理論に双対する代数的構造は何か？
• RQ3 なぜ境界代数のエントロピーが、量子補正が加えられたベケンシュタイン＝ホーキングの公式を再現するのか？
• RQ4 部分代数への包含写像の下で代数的エントロピーの単調性から一般化第二法則がどのように導かれるのか？
• RQ5 なぜ「バルジ」量子極小表面の saddle ポイントが、長いワームホールのRényiエントロピー計算において負の符号で寄与するのか？

主な発見

• ブラックホール分岐表面の一般化エントロピーは、マイクロカノニカル集合における大N単一トレース演算子から構成されたタイプII∞フォン・ノイマン代数のエントロピーとホログラフィックに双対する。
• 量子補正が加えられたベケンシュタイン＝ホーキングの公式は、ローレンツ型有効場理論量子重力における G→0 の極限で、この代数のエントロピーとして現れる。
• 一般化第二法則は、部分代数へのトレース保存包含写像の下での代数的エントロピーの単調性の直接的結果である。
• ショック波励起を伴う長いワームホールでは、Rényiエントロピーが量子極小表面の saddle ポイントの和として計算され、その際「バルジ」表面からの負の寄与を含む。
• 境界とボリューム代数の間の同型写像はトレース保存であり、ピーター＝ワイエル分解とモジュラー理論によって確認された。
• この構成により、ユークリッド経路積分やレプリカのテクニックに依存せずにQES規則の導出が可能である。