[論文レビュー] Large $N_c$ from Seiberg-Witten Curve and Localization

Jorge G. Russo|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、${\cal N}=2$ $SU(N_c)$ SQCDを${\mathbb{S}}^4$に compactify した際、大$N_c$における真空が鞍点ダイナミクスによって一意に選択され、その真空は、分岐点が対になって合体する退化極限において、Seiberg-Witten理論が記述する真空と完全に一致することを示している。この極限では$2N_c-2$個の分岐点がペアで合体し、$n=1,\dots,N_c-1$に対して$a_{Dn}=0$となる。臨界点は、相互に非局所的な状態が質量ゼロとなるArgyres-Douglas超共形固定点に対応し、スカラー場の固有値は関連ルジャンドル多項式によって決定される。

ABSTRACT

When N = 2 gauge theories are compactified on $S^4$, the large $N_c$ limit then selects a unique vacuum of the theory determined by saddle-point equations, which remains determined even in the flat-theory limit. We show that exactly the same equations can be reproduced purely from Seiberg-Witten theory, describing a vacuum where magnetically charged particles become massless, and corresponding to a specific degenerating limit of the Seiberg-Witten spectral curve where $2N_c-2$ branch points join pairwise giving $a_{Dn}=0$, $n=1,...,N_c-1$. We consider the specific case of N = 2 $SU(N_c)$ SQCD coupled with $2N_f$ massive fundamental flavors. We show that the theory exhibits a quantum phase transition where the critical point describes a particular Argyres-Douglas point of the Riemann surface.

研究の動機と目的

• ${\mathbb{S}}^4$へのcompactificationによって選ばれる大$N_c$真空の物理的起源を理解すること。
• ${\mathbb{S}}^4$上の局所化から得られる鞍点方程式と、Seiberg-Witten曲線の退化極限との直接的対応関係を確立すること。
• 位相図における臨界点が、ペアになった分岐点の崩壊によって生じるArgyres-Douglas超共形固定点であることを同定すること。
• 直交多項式を用いて、大$N_c$極限におけるスカラー場$\Phi$の固有値分布の正確な解を導出すること。
• 関連ルジャンドル多項式の解を用いて、有限$N_c$および$N_f$における臨界関係$2\Lambda = M$を一般化すること。

提案手法

• 曲率にスカラー$\Phi$がカップルされた${\mathbb{S}}^4$上の有効作用を、古典的寄与および1ループ寄与を含めて導出する。
• 超対称局所化を適用し、有効作用の最小化により鞍点真空を特定する。
• すべての$i=1,\dots,N_c-1$に対して$a_{Di} = 0$である条件を特定し、Seiberg-Witten曲線への写像を実行することで、ペアになった分岐点の退化に対応させる。
• Stieltjesの方法を用いて離散的鞍点方程式を解き、固有値多項式$Q(x)$の微分方程式を導出する。
• 関連ルジャンドル関数を用いて、得られた微分方程式$(x^2 - M^2)Q'' - 2N_f x Q' - N_c(N_c - 1 - 2N_f)Q = 0$を解く。
• 固有値を$Q(x)$の根として特定し、$N_f \leq N_c/2 - 1$のとき、$Q(x) \propto (1 - x^2/M^2)^{N_f+1} \frac{d^{N_c}}{dx^{N_c}}(x^2/M^2 - 1)^{N_c - N_f - 1}$と表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{S}}^4$への局所化によって選ばれる大$N_c$真空は、Seiberg-Witten曲線の構造とどのように関係しているか？
• RQ2 $i=1,\dots,N_c-1$に対してすべての$a_{Di} = 0$である条件が、Seiberg-Witten曲線の文脈で何を意味するか？
• RQ3 局所化から得られる鞍点方程式は、退化極限におけるSeiberg-Witten理論から純粋に再現可能か？
• RQ4 臨界結合定数における量子相転移の性質は何か？ そしてそれはArgyres-Douglas点とどのように関係しているか？
• RQ5 臨界状態におけるスカラー場$\Phi$の正確な固有値分布は何か？ また、$2\Lambda = M$の関係はどのように有限$N_c$に一般化されるか？

主な発見

• ${\mathbb{S}}^4$へのcompactificationによって選ばれる大$N_c$真空は、$2N_c - 2$個の分岐点が対になって合体するSeiberg-Witten曲線の退化に対応し、$n=1,\dots,N_c-1$に対して$a_{Dn} = 0$となる。
• ${\mathbb{S}}^4$上での局所化から得られる鞍点方程式は、物理的起源が異なるにもかかわらず、退化Seiberg-Witten曲線から導かれる積分方程式と同一である。
• 量子相転移の臨界点は、相互に非局所的な状態が質量ゼロとなるArgyres-Douglas超共形固定点に対応する。
• スカラー場$\Phi$の固有値は、関連ルジャンドル関数を用いて解ける2階微分方程式を満たす多項式$Q(x)$の根として与えられる。
• $N_f \leq N_c/2 - 1$のとき、解には$\pm M$に$N_f + 1$個の固有値と、$(-M, M)$内に$N_c - 2N_f - 2$個の固有値が存在し、$2\Lambda = M$の関係が有限$N_c$に一般化される。
• 固有値分布の正確な解は、$Q(x) \propto (1 - x^2/M^2)^{N_f+1} \frac{d^{N_c}}{dx^{N_c}}(x^2/M^2 - 1)^{N_c - N_f - 1}$で与えられ、$\ell = N_c - N_f - 1 \geq N_f + 1$のとき有効である。