[論文レビュー] Large-N CP(N-1) sigma model on a finite interval: physical boundary effects

Stefano Bolognesi, Kenichi Konishi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす有限な空間的区間 L における大 N 限界における CP(N-1) σ モデルを研究する。非摂動的鞍点方程式を用い、並進不変性を仮定しない大 N 限界において、L→∞ のとき標準的な 2D きょう制限相に滑らかに近づく唯一の相が存在することを示し、小 L 時にヒッグス相が存在するとする以前の主張とは矛盾する。

ABSTRACT

We analyze the two-dimensional CP(N-1) sigma model defined on a finite space interval L, with various boundary conditions, in the large N limit. With the Dirichlet boundary condition at the both ends, we show that the system has a unique phase, which smoothly approaches in the large L limit the standard 2D CP(N-1) sigma model in confinement phase, with a constant mass generated for the n(i) fields. We study the full functional saddle-point equations for finite L, and solve them numerically. The latter reduces to the well-known gap equation in the large L limit. It is found that the solution satisfies actually both the Dirichlet and Neumann conditions.

研究の動機と目的

• 有限な空間的区間 L における CP(N-1) σ モデルを、大 N 限界においてさまざまな境界条件のもとで解析すること。
• 特に D-D 境界条件の場合に、小 L 時にヒッグス相が存在するという、矛盾する主張を解消すること。
• 並進不変性を仮定しないで、関数的鞍点方程式を数値的に解くこと。
• 周期的境界条件とは対照的に、境界の存在下での赤外行動および相構造を明確にすること。
• すべての L においてきょう制限相が物理的に整合的であることを確立すること、特に系が有効に 1D 量子力学に還元される小 L 限界においても同様である。

提案手法

• n_i フィールドにディリクレまたはノイマン境界条件を課した、有限区間 0 < x < L における CP(N-1) σ モデルを定式化する。
• 定数質量や並進不変性を仮定しない大 N 限界における関数的鞍点方程式から、一般化されたギャップ方程式を導出する。
• 小 L を含むさまざまな L 値について、非局所的鞍点方程式の完全なセットを数値的に解く。
• n_i^*n_i = r の制約を強制するためのラグランジュ乗数 λ を用いた有効作用形式を用い、境界条件を満たすラプラシアンの逆演算子を含むギャップ方程式を導出する。
• 数値的解を、無限大 L 限界における標準ギャップ方程式および先行研究で用いられた並進不変性の仮定に基づくアンサンブルと比較する。
• 凝集体 ⟨σ(x)⟩ および ⟨λ(x)⟩ の振る舞いを分析して、ヒッグス相またはきょう制限相の有無を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D-D または N-N 境界条件を満たす有限区間 L における CP(N-1) モデルは、小 L 時にヒッグス相を示すのだろうか？（以前の研究で示唆されたとおり）
• RQ2 並進不変性の仮定（定数質量）が、D-D または N-N 境界条件のもとで、完全な鞍点方程式を満たすことができるのだろうか？
• RQ3 小 L 限界では系はどのように振る舞い、1D 量子力学系に還元されるのだろうか？
• RQ4 有限区間におけるモデルの正しい相構造は何か？ そして L→∞ のとき、標準的な 2D きょう制限相にどのように近づくのか？
• RQ5 なぜ周期的境界条件では相転移が可能であるのに対し、D-D や N-N 条件ではそれが実現されないのか？

主な発見

• すべての L に対して唯一の相が存在し、ヒッグス相の証拠はない。これは、並進不変性の仮定に基づいた先行研究とは矛盾する。
• 完全な鞍点方程式の数値的解法は、ディリクレおよびノイマン境界条件を両方とも満たしており、境界条件との整合性が保たれている。
• 大 L 限界において、解は標準的な 2D CP(N-1) モデルのきょう制限相に滑らかに近づき、定数質量ギャップ m² = Λ² を示す。
• ヒッグス相（⟨σ(x)⟩ ∼ Λ および ⟨λ(x)⟩ = 0）は、そのようなアンサンブルのもとでギャップ方程式の第一項が恒等的に消えないため、排除される。
• 小 L 時に、系は有効に 1D 量子力学系に還元され、相転移が予想されないため、相転移の欠如が説明できる。
• 周期的境界条件では L_crit ∼ 1/Λ の相転移が可能であるが、D-D や N-N 条件では並進不変性が破れているため、このような相転移は実現されない。