[論文レビュー] Large p-groups actions with a p-elementary abelian second ramification group

Magali Rocher|ArXiv.org|Jan 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特性 $p > 0$ の代数的に閉じた体上での genus $g \geq 2$ の曲線に対する $p$-群の大きな作用を分類し、特に第二の分岐群 $G_2$ が $p$-初等アーベルである場合に注目する。加法的多項式が生成する $k$-代数と分岐フィルトレーションの分析を通じて、構造定理を確立し、最大分岐ジャンプに対応する普遍族を構成する。その結果、$G$ の中心は位数 $p$ の巡回群であり、$G$ は導来部分群のフィルトレーションを介して capable 群に関連していることが明らかになった。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p>0$ and $C$ a connected nonsingular projective curve over $k$ with genus $g \geq 2$. Let $(C,G)$ be a "big action", i.e. a pair $(C,G)$ where $G$ is a $p$-subgroup of the $k$-automorphism group of $C$ such that$\frac{|G|}{g} >\frac{2 p}{p-1}$. We denote by $G_2$ the second ramification group of $G$ at the unique ramification point of the cover $C o C/G$. The aim of this paper is to describe the big actions whose $G_2$ is $p$-elementary abelian. In particular, we obtain a structure theorem by considering the $k$-algebra generated by the additive polynomials. We more specifically explore the case where there is a maximal number of jumps in the ramification filtration of $G_2$. In this case, we display some universal families.

研究の動機と目的

• $|G|/g > 2p/(p-1)$ を満たし、$G_2$ が $p$-初等アーベルであるような大きな作用 $(C, G)$ を分類すること。
• $k[X]$ 内の加法的多項式が生成する $k$-代数を用いて、そのような作用の構造を理解すること。
• 第二分岐フィルトレーションにおけるジャンプ数が最大となる場合、すなわち $G/G_2$ が $G_2$ に非自明に作用する場合を特徴づけること。
• 特に $p=5$、$n \leq p-1$、$\dim_{\mathbb{F}_p} V = 2$ の場合に、このような大きな作用をパラメータ化する普遍族を構成すること。
• 群 $G$ を capable 群と関連づけ、中心および導来系列の構造を同定すること。

提案手法

• $k[X]$ 内の高々 $t$ 個の加法的多項式の積で生成される $k$-代数 $\Sigma_t$ を用い、Artin-Schreier 方程式 $W_i^p - W_i = f_i(X)$ の形を制約する。
• Artin-Schreier 対応の双対である誘導表現 $\phi: G/G_2 \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ を用いて分岐フィルトレーションを分析する。
• 正確な完全列 $0 \to G_2 \to G \to V \to 0$ に関連する埋め込み問題を解くことで、普遍族を構成する。ここで $G_2 \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ である。
• 線形基底変換 $X \to \lambda X$ を用いて異なる族を関連づけ、普遍族内に部分族を同定する。
• Artin-Schreier 様式において $f$ が $p$-冪自由でかつ適切に定義されるように、$\wp(k[X])$ による剰余代表 $\mathrm{red}(f)$ を用いる。
• $G$ の分岐構造によって誘導されるフィルトレーション $\Lambda_i(G)$ を研究し、特に $\Lambda_{n-1}(G)$ が $G_2$ の指数 $p$ の部分群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二分岐群 $G_2$ が $p$-初等アーベルであるような大きな作用の構造はどのようなものか？
• RQ2 Artin-Schreier 方程式 $W_i^p - W_i = f_i(X)$ の関数 $f_i(X)$ は、加法的多項式が生成する $k$-代数 $\Sigma_t$ とどのように関係するか？
• RQ3 多項式族 $f_i \in \Sigma_{i+1} - \Sigma_i$ が有効な大きな作用を導くための条件は何か？
• RQ4 分岐フィルトレーションに最大のジャンプ数を持つ場合、群 $G$ の群論的構造はどのようなものか？
• RQ5 普遍族がこのような大きな作用をどのようにパラメータ化するか。また、そのパrameter空間の連結成分は何か？

主な発見

• $G_2 \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ かつ $f_i \in \Sigma_{i+1} - \Sigma_i$ であるような大きな作用に対して、群 $G$ の中心 $Z(G)$ は位数 $p$ の巡回群である。
• すべての $i \in \{1, \dots, n\}$ に対して、商群 $G/\Lambda_i(G)$ は capable である。これは以前の研究で得られた結果を一般化する。
• $n < 4$ かつ $p = 5$ の場合、パrameter空間は線形アフィン空間のザリスキ開部分集合であるため、連結かつ既約である。
• $n = 4$ の場合、条件 $b_0^{96} = 1$ のため、パrameter空間は連結でない。これは非自明な成分構造を示している。
• $s_1 = 1$ の場合、普遍族に付随する群 $G$ は、基底変換を介して特殊ケースで得られる群と同型である。ただし $\lambda \in \mathbb{F}_{25}^\times$ である必要がある。
• $s_1 = 1$ で $n < p-1$ かつ $\dim_{\mathbb{F}_p} V = 2$ の場合、普遍族は存在し、既約である。しかし $n = p-1$ の場合のパrameter空間の構造は未解決のままである。