[論文レビュー] Large permutation invariant random matrices are asymptotically free over the diagonal

Benson Au, Guillaume Cébron+3 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一様作用素ノルムの上限のもとで、大規模な置換不変ランダム行列の独立した族が、大N極限において確率的および期待値的に、対角上での漸近的自由性を示す。この結果は、有界な確率変数による要素ごとの乗算を伴う行列に対しても拡張可能であり、重たい尾を持つWigner行列やスパースなErdős-Rényiグラフなどのモデルに適用可能である。

ABSTRACT

We prove that independent families of permutation invariant random matrices are asymptotically free over the diagonal, both in probability and in expectation, under a uniform boundedness assumption on the operator norm. We can relax the operator norm assumption to an estimate on sums associated to graphs of matrices, further extending the range of applications (for example, to Wigner matrices with exploding moments and so the sparse regime of the Erd\H{o}s-R\'{e}nyi model). The result still holds even if the matrices are multiplied entrywise by bounded random variables (for example, as in the case of matrices with a variance profile and percolation models).

研究の動機と目的

• 独立した大規模な置換不変ランダム行列族が、対角上でのアマルガメーションに関する漸近的自由性を確立すること。
• グラフに基づくモーメント推定を導入することで、一様作用素ノルム条件を緩和し、モーメントが発散するモデルへの応用を可能にすること。
• 有界な確率変数による要素ごとの乗算を伴う行列へとフレームワークを拡張すること、例えば分散プロファイルモデルや透過モデルにおける応用を想定すること。
• 多行列モデルのスペクトル分布を分析する際に、作用素値自由確率論を用いる理論的基盤を提供すること。
• ランダム行列の有理関数の極限スペクトル分布の数値的計算を通じて理論を検証すること。

提案手法

• 対角代数 DN をアマルガメーション部分代数として用いる作用素値自由確率論を用いる。
• Voiculescuの条件付き期待値および E-分布の概念を適用し、DN 上での漸近的自由性を定義する。
• 行列積を頂点が行列添え字を表し、辺が行列要素を表すラベル付きグラフとしてモデル化する、グラフに基づくモーメント法を用いる。
• 単項式が行列族でラベル付けされた色付きグラフに対応するテストグラフフレームワークを導入する。
• テストグラフの2辺連結成分の森（FpG）を用いて、行列トレースの漸近的挙動を分析する。
• 頂点・辺の数および成分構造を含む τ₀^N[Tπ] に関するバインドを用いて、木でない一般化連結成分（GCCpTπ）からの寄与が N → ∞ のとき消えることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立した置換不変ランダム行列族は、大N極限において対角上での漸近的自由性を満たすか？
• RQ2 一様作用素ノルム仮定を、重たい尾を持つ要素を伴うモデルを含めるために、グラフに基づくモーメント条件に緩和可能か？
• RQ3 有界な確率変数による要素ごとの乗算がなされた場合でも、漸近的自由性の結果は維持されるか？例えば分散プロファイルやランダムグラフ上の透過モデルのような状況で。
• RQ4 このフレームワークを用いて、このような行列の有理関数の極限スペクトル分布を計算可能か？
• RQ5 2辺連結成分の森は、非自由寄与の漸近的消滅を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• 一様作用素ノルムの上限のもとで、置換不変ランダム行列の独立した族は、確率的および期待値的に、対角上でのアマルガメーションに関する漸近的自由性を示す。
• すべての p ≥ 1 に対して、行列 εN = ∆[(P₁(Aℓ₁) - ∆P₁(Aℓ₁))⋯(Pₙ(Aℓₙ) - ∆Pₙ(Aℓₙ))] がSchatten pノルムでゼロに収束することは、DN 上での漸近的自由性を示す。
• 作用素ノルム仮定は、行列モーメントのグラフに基づく成長条件に緩和可能であり、モーメントが発散するWigner行列やスパースなErdős-Rényiグラフのモデルを含めることが可能になる。
• 有界な確率変数による要素ごとの乗算がなされた場合でも、漸近的自由性の結果は成り立つ。例えば分散プロファイルモデルやランダムグラフ上の透過モデルのような状況で。
• 証明は、一般化連結成分が木でないテストグラフからの寄与が、モーメント推定における N の負のべき乗のおかげで N → ∞ のとき消えることを示すことに依存する。
• このフレームワークにより、作用素値自由確率論の手法を用いて、このような行列の和および有理関数の極限スペクトル分布の数値的計算が可能になる。