[論文レビュー] Large random matrix approach for testing independence of a large number of Gaussian time series

Philippe Loubaton, Alexis Rosuel|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元ガウス時系列における周波数平滑化周期相関推定器の線形固有値統計（LSS）を分析するため、大規模なランダム行列理論フレームワークを構築する。漸近的状態において、標本サイズ N→∞ と次元 M および平滑化幅 B が比例的に増大し、M/N→0 となる条件下で、推定されたスペクトル共起散乱行列の経験的固有値分布は、マルチェンコ＝パストール分布に収束する。これにより、LSS の精度の高い決定的近似が可能となり、誤差境界は O(1/M + √M/N + (M/N)^3) のオーダーとなる。

ABSTRACT

The asymptotic behaviour of Linear Spectral Statistics (LSS) of the smoothed periodogram estimator of the spectral coherency matrix of a complex Gaussian high-dimensional time series $(\y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ with independent components is studied under the asymptotic regime where the sample size $N$ converges towards $+\infty$ while the dimension $M$ of $\y$ and the smoothing span of the estimator grow to infinity at the same rate in such a way that $\frac{M}{N} ightarrow 0$. It is established that, at each frequency, the estimated spectral coherency matrix is close from the sample covariance matrix of an independent identically $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,\I_M)$ distributed sequence, and that its empirical eigenvalue distribution converges towards the Marcenko-Pastur distribution. This allows to conclude that each LSS has a deterministic behaviour that can be evaluated explicitly. Using concentration inequalities, it is shown that the order of magnitude of the supremum over the frequencies of the deviation of each LSS from its deterministic approximation is of the order of $\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N}+ (\frac{M}{N})^{3}$ where $N$ is the sample size. Numerical simulations supports our results.

研究の動機と目的

• 高次元ガウス時系列におけるスペクトル共起散乱行列の周波数平滑化周期相関推定器の線形固有値統計（LSS）の漸近的挙動を研究すること。
• 高次元漸近的状態（N→∞、M,N→∞ かつ M/N→0）において、推定共起散乱行列が i.i.d. 複素ガウスベクトルの標本共分散行列と同様に振る舞うことを確立すること。
• 各周波数における推定共起散乱行列の固有値の LSS の決定的近似を導出すること。
• 集中不等式を用いて、LSS とその決定的極限との乖離を定量化すること。
• 高次元時系列の多数の成分間における相互独立性の統計的検定の開発を支援すること。

提案手法

• 周波数平滑化周期相関推定器を用いて、スペクトル共起散乱行列の一貫した推定値を構築する。定義は $\hat{\mathbf{C}}(\nu) = \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2} \hat{\mathbf{S}}(\nu) \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2}$ である。
• 大規模ランダム行列理論、特にマルチェンコ＝パストール法則を適用し、$\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ の経験的固有値分布がパrameter $c = \lim M/N$ のマルチェンコ＝パストール分布に収束することを示す。
• 確率的支配と集中不等式を用いて、LSS とその決定的極限との乖離を制御する。周波数 $\nu \in [0,1]$ 全体における上界の乖離は、$u_N = \frac{1}{B} + \frac{\sqrt{B}}{N} + \left(\frac{B}{N}\right)^3$ で制御される。
• 推定共起散乱行列 $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ の確率的表現を、基準ウィシャール型行列と摂動項に分解することによって導出する。
• ヘルファ＝シュトラウス公式とリゾルベント技術を用いて、確率的行列関数のトレースを分析する。
• ハンソン＝ホワイット不等式と部分積分公式を用いて、ガウスベクトルにおける二次形式のモーメントとキュムラントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周波数平滑化推定スペクトル共起散乱行列の経験的固有値分布は、高次元漸近的状態下でどのように振る舞うか？
• RQ2 高次元漸近的状態下で、推定共起散乱行列の線形固有値統計（LSS）を決定的に近似できるか？
• RQ3 LSS がその決定的極限に収束する速度は何か？ また、その乖離はどのように定量化できるか？
• RQ4 平滑化幅 B と標本サイズ N が、高次元時系列におけるスペクトル統計の精度にどのように同時に影響を与えるか？
• RQ5 理論的枠組みは、高次元ガウス時系列の成分間における相互独立性の正式な検定を支援できるか？

主な発見

• 漸近的状態 $N \to \infty$, $M(N) = \mathcal{O}(N^\alpha)$ かつ $\alpha \in (1/2,1)$, $c_N = M/N \to c \in (0,1)$ の下で、$\hat{\mathbf{C}}(\nu)$ の経験的固有値分布は弱収束して、パrameter $c$ のマルチェンコ＝パストール分布に収束する。
• 線形固有値統計 $\frac{1}{M}\mathrm{Tr}\left(f(\hat{\mathbf{C}}(\nu))\right)$ は、マルチェンコ＝パストール法則のストイエルトス変換を用いて明示的に計算可能な決定的極限に収束する。
• 周波数 $\nu \in [0,1]$ 全体における LSS とその決定的近似との乖離の上界は、高確率で $\mathcal{O}\left(\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N} + \left(\frac{M}{N}\right)^3\right)$ のオーダーである。
• 推定共起散乱行列と基準ウィシャール行列との間の摂動は、任意の $k \geq 1$ に対して $\mathcal{O}\left(\left(\frac{B}{N}\right)^k\right)$ のスケーリングで確率的に支配されることを示した。
• 数値シミュレーションにより理論的誤差境界が確認され、LSS の決定的近似の妥当性が検証された。
• このフレームワークにより、高次元時系列の成分間における相互非相関（すなわち独立性）の検定がスペクトル統計に基づいて構築可能である。