[論文レビュー] Large scale geometry of metrisable groups

Christian Rosendal|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトでない設定におけるコンパクト性の代わりに相対的性質 (OB) を導入することで、分離可能で距離化可能な位相群に対して標準的な大規模幾何を確立する。群が一意的なクーラス同値型をもつことと、局所的性質 (OB) をもつこととは同値であり、また、反射的および超反射的空間を含むさまざまな幾何的性質をもつバナッハ空間への測度的固有なアフィン等長作用をもつ条件を特徴づける。

ABSTRACT

We develop a theory of large scale geometry of metrisable topological groups that, in a significant number of cases, allows one to define and identify a unique quasi-isometry type intrinsic to the topological group. Moreover, this quasi-isometry type coincides with the classical notion in the case of compactly generated locally compact groups and, for the additive group of a Banach space, is simply that of the corresponding Banach space. In particular, we characterise the class of separable metrisable groups admitting metrically proper, respectively, maximal compatible left-invariant metrics. Moreover, we develop criteria for when a metrisable group admits metrically proper affine isometric actions on Banach spaces of various degress of convexity and reflexivity. A further study of the large scale geometry of automorphism groups of countable first order model theoretical structures is separated into a companion paper.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトまたは有限生成でない場合を含む、分離可能で距離化可能な位相群のための標準的大規模幾何を定義すること。
• トポロジカルなコンパクト性を置き換えるために、距離的性質である相対的性質 (OB) を導入し、クーラス同値不変量を一般化すること。
• このような群が測度的固有な左不変距離とバナッハ空間へのアフィン等長作用をもつ条件を特徴づけること。
• 反射的および超反射的バナッハ空間への作用を通じて、群の幾何的性質と表現論との間の関係を確立すること。
• 可算一階論理構造の自己同型群を大規模幾何を通じて研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 距離化可能な群の部分集合に対して相対的性質 (OB) を定義する：ある集合が (OB) をもつとは、任意の左不変距離に関して有界な直径をもつこと。
• 測度的固有性をもつ左不変距離を定義する：任意の有界集合が群に対して (OB) をもつとき、その距離を測度的固有と呼ぶ。
• 任意の分離可能で距離化可能な群において、測度的固有な2つの距離は粗同値であることを証明し、したがって一意的なクーラス同値型が定義されることを示す。
• アーレンズ–イーリング空間の構成を用いて、弱くほとんど周期的関数に付随するコサイクルからバナッハ空間へのアフィン等長作用を実現する。
• 負型核の理論およびラデマッハ型の理論を用いて、群の幾何的性質とターゲットのバナッハ空間の幾何的性質との関係を関係づける。
• 有界な台を持つ切り上げ関数を用いて、ヒルベルト空間および反射的空間への作用の直和を直接構成し、測度的固有性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能で距離化可能な群が、標準的な測度的固有な左不変距離によって一意的なクーラス同値型をもつのはいつか？
• RQ2 反射的または超反射的バナッハ空間への測度的固有なアフィン等長作用をもつ群はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 局所的性質 (OB) は、超反射的空間への測度的固有作用の存在を意味するか？ 逆に、そのような作用が存在するならば、局所的性質 (OB) が成り立つか？
• RQ4 多様体や測度空間のホメオモーフィズム群の大規模幾何は、この枠組みによって標準的に定義可能か？
• RQ5 性質 (OB) と、反射的バナッハ空間へのアフィン等長作用における固定点性質との関係は何か？

主な発見

• 分離可能で距離化可能な群が測度的固有な同相左不変距離をもつための必要十分条件は、その群が局所的性質 (OB) をもつこと、すなわち単位元の近傍のうちあるものが (OB) をもつことである。
• このような距離によって誘導されるクーラス同値型は本質的で、クーラス同値の意味で一意的であり、コンパクト生成局所コンパクト群の古典的ケースを一般化する。
• バナッハ空間の加法群は、そのバナッハ空間自体とクーラス同値である。これは、この理論がこの場合に古典的大規模幾何を回復することを示している。
• $U(\text{H})$、$\text{Homeo}(S^n)$、および $\text{Aut}([0,1]^{\nn})$ のような群はコンパクトでないが (OB) をもつ。これは、この理論が局所コンパクト群の範囲を越えて有効であることを示している。
• 群が超反射的バナッハ空間への測度的固有なアフィン等長作用をもつための必要十分条件は、その群が局所的性質 (OB) をもつことであり、このような作用は弱くほとんど周期的関数を用いて明示的に構成可能である。
• $L^q$ は $\text{max}\big\brace{2,p\big\brace}<q<\big\brace{\text{infty}}$ のとき $L^p$ に粗埋め込みできないため、$L^p$ への測度的固有作用をもつことはできないが、シフト作用により $L^p$ 自身への測度的固有作用をもつ。