[論文レビュー] Large solutions to elliptic equations involving fractional Laplacian

Huyuan chen, Patricio Felmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、境界付近における $f$ の成長に関する明確な条件下で、外部データがゼロで、源項 $f$ を持つ分数階楕円型方程式 $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = f$ に対して、大解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、$p$, $\alpha$ および $f$ の発散速度に応じた、解の存在・非存在・多重性の完全な分類であり、古典的な Keller-Osserman 理論を非局所作用素へ拡張するものである。

ABSTRACT

In this article, we study the boudary blow-up solutions for semilinear fractional equations with power absorption. Our main purpose is to obtain the existence, nonuniqueness and behavior asymptotic near the boundary.

研究の動機と目的

• 分数階微分作用素 $(-\Delta)^\alpha$ を含む境界発散解の古典的 Keller-Osserman 理論を非局所設定に拡張すること。
• 外部データ $g \equiv 0$ で源項 $f$ が非ゼロである場合の、大解の存在を調べ、特に $f$ の境界付近での発散速度の役割に注目すること。
• 非線形性の指数 $p$、分数階数 $\alpha$、および $f$ の可積分性条件の相互作用に基づき、大解の存在・非存在・多重性を分類すること。
• 距離関数 $d(x) = \text{dist}(x, \partial\Omega)$ を用いた境界付近における解の漸近的挙動を特定すること、特に $p$ および $\alpha$ の異なる範囲における挙動を分析すること。
• 大解の存在を保証する鋭い条件、特に $f_+ d^{2\alpha p/(p-1)} \to \text{const}$ および $f_- d^{2\alpha p/(p-1)} \to 0$ を示し、$g \equiv 0$ の場合に $f$ が発散を引き起こす役割を分析すること。

提案手法

• 発散速度に関連するパrameter $\tau$ を持つ関数族 $U_{\mu,t}(x) = t \cdot d(x)^\tau \cdot \phi_\mu(x)$ を用いて、下界解および上界解を構成する。ここで $\phi_\mu$ は切り捨て関数である。
• 点ごとの分数階ラプラシアンの表現式 $(-\Delta)^\alpha u(x) = -\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\delta(u,x,y)}{|y|^{N+2\alpha}} dy$ を用いて、試験関数上での作用素の推定を行う。
• 境界付近（$A_\delta$）およびそれ以外の領域における、$(-\Delta)^\alpha$ の漸近的展開および正則性推定を用い、$(-\Delta)^\alpha U_{\mu,t} + U_{\mu,t}^p - f$ の挙動を制御する。
• 下界解および上界解による比較原理を用いて、$x \to \partial\Omega$ のとき $u \to \infty$ を満たす解の存在を証明する。
• パrameter $\tau$ を用いて候補解の同次性を調整し、$p$, $\alpha$, および $f$ の発散速度によって定義される異なるパラメータ領域における解の挙動を分析する。
• 特に $f_+$ に対して $d(x)^{2\alpha p/(p-1)}$ の減衰率、$f_-$ に対して $d(x)^{2\alpha}$ の減衰率を含む、仮定 (H1), (H2), (H3) を用いて $f$ に対する鋭い条件を確立し、存在または非存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源項 $f$ およびパrameter $p$, $\alpha$ がどのような条件下で、$\Omega$ 内で $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = f$ かつ $u = 0$ in $\Omega^c$, $u \to \infty$ as $x \to \partial\Omega$ を満たす大解が存在するか？
• RQ2 分数階微分作用素 $(-\Delta)^\alpha$ の非局所性は、$\alpha = 1$ の古典的局所的ケースと比較して、大解の存在・一意性構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 解の境界付近での正確な発散速度は何か？ これは $p$, $\alpha$, および $f$ の挙動にどのように依存するか？
• RQ4 外部データ $g \equiv 0$ の場合に大解が存在しうるか？ もし存在するならば、$f$ にどのような条件が必要か？
• RQ5 すべての大解が存在しない $p < p_c$ およびすべての大解が存在する $p > p_c$ を満たす臨界指数 $p_c(\alpha)$ は何か？ そしてこの臨界指数は $\alpha$ にどのように依存するか？

主な発見

• 仮定 (H1) および (H2) の下で、$1 + 2\alpha < p < 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ かつ $\tau_0(\alpha) \in (-1, 0)$ のとき、方程式 $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = f$ in $\Omega$, $u = 0$ in $\Omega^c$ に対して少なくとも1つの大解が存在する。
• 境界に近づくとき $f_+ d^{2\alpha p/(p-1)} \to \text{const}$ かつ $f_- d^{2\alpha p/(p-1)} \to 0$ であれば、解は $\liminf_{x \to \partial\Omega} u(x) d(x)^{-\beta} > 0$ および $\limsup_{x \to \partial\Omega} u(x) d(x)^{2\alpha/(p-1)} < \infty$ を満たす。ここで $\beta \in (-\frac{2\alpha}{p-1}, 0)$ である。
• $p = 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ のとき、同じ減衰条件を満たす $f$ の下で大解が存在し、その発散速度は $\tau_0(\alpha)$ によって決定される特定のものとなる。
• $p \geq 1 - \frac{2\alpha}{\tau_0(\alpha)}$ で、$|f(x)| \lesssim d(x)^\gamma$ を満たす弱い源項（$\gamma \in [-2\alpha - \frac{2\alpha}{p-1}, -2\alpha)$）に対して、適切な $\gamma$ および $\tau$ の条件下で大解が存在する。
• 強い源項 $|f(x)| \lesssim d(x)^\gamma$ で $\gamma < -2\alpha$ の場合、$\gamma/p > -2\alpha/(p-1)$ であれば大解が存在し、解の構造は $\gamma/p$ と $-2\alpha/(p-1)$ の相対的大きさに依存する。
• 源項 $f$ が境界付近で速く成長する場合、特に $\limsup_{x \to \partial\Omega} |f(x)| d(x)^{2\alpha} = \infty$ のとき、仮定 (H2*) の下で大解は非存在である。これは、源項が発散を引き起こせないことを示唆する。