[論文レビュー] Large sparse networks of interacting diffusions

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、相互作用する拡散の巨大なスパースネットワークを研究し、相互作用グラフの局所的収束のもとで、粒子系が制限グラフ上の極限拡散へ弱い局所的収束を示す。主な結果には、非マルコフ過程を用いたユニモジュラー・ギャルトン＝ワトソン木上の極限ダイナミクスの特徴付けと、典型的な粒子の法則が決定論的であっても、経験的測度の極限が確率的のまま残る可能性があることの提示が含まれる。

ABSTRACT

We consider interacting particle systems on a large sparse, possibly random, interaction graph $G_n$, where each particle evolves infinitesimally like a d-dimensional diffusion whose drift coefficient depends on the histories of its own state and the states of neighboring particles, and the diffusion coefficient depends only on the history of its own state. We study limits of such particle systems in the case when the average degree of $G_n$ remains almost surely bounded. Specifically, under suitable assumptions on the coefficients and initial conditions, we show that if $G_n$ converges in distribution in the sense of local convergence to a locally finite graph $G$, then the corresponding particle dynamics converge weakly locally to a certain limit diffusion on $G$. We also show that for certain graph sequences, including sparse Erdos-Renyi graph sequences, the limit of the empirical measure is deterministic and coincides with the law of a typical particle; but show that in general, the empirical measure limit may fail to coincide with the law of a typical particle, and it could even remain stochastic. Furthermore, when $G$ is a unimodular Galton-Watson tree, under suitable assumptions we characterize the limiting dynamics of the neighborhood of a typical particle in terms of a certain finite-dimensional non-Markovian stochastic process whose infinitesimal evolution at any time depends not only on the current state of the neighborhood, but also on the conditional law of the current state given the past of the neighborhood process until that time. This resolves the open problem of characterizing the limiting dynamics on sequences of sparse Erdos-Renyi graphs. Important ingredients of the proofs include correlation decay estimates, a second-order Markov random field property for particle trajectories, and a stochastic analytic result on mimicking Ito processes.

研究の動機と目的

• 大規模なスパース相互作用グラフ上での相互作用する拡散粒子系の漸近的挙動を理解すること。
• 粒子系の経験的測度が決定論的極限に収束する条件を特定すること。
• スパース・エローズ＝レニイ・グラフ列上の極限ダイナミクスを特徴付ける未解決問題を解消すること。
• 経験的測度の極限が典型的な粒子の法則と一致しない条件を確立すること。
• 非マルコフ確率過程を用いて、ユニモジュラー・ギャルトン＝ワトソン木上の極限ダイナミクスを特徴付けること。

提案手法

• ランダムグラフ $G_n$ が制限された局所的有限グラフ $G$ に局所的に分布収束することを、主要な構造的仮定として用いる。
• 大システム極限におけるネットワーク全体の依存関係を制御するために、相関崩壊推定を適用する。
• 時間的および空間的依存関係をモデル化するために、粒子軌道の2次元マルコフ・ランダムフィールド性質を用いる。
• イト過程の模倣に関する確率解析的結果を用いて、極限ダイナミクスを構成する。
• 過去の条件付き法に依存する有限次元の非マルコフ過程を用いて、ユニモジュラー・ギャルトン＝ワトソン木上の極限を特徴付ける。
• 適切な係数および初期条件の仮定のもとで、粒子ダイナミクスの弱い局所的収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模なスパースネットワークにおける相互作用する拡散の経験的測度が決定論的極限に収束する条件は何か？
• RQ2 スパース・エローズ＝レニイ・グラフ上での極限ダイナミクスを完全に特徴付けることができるか。もし可能であれば、どのように？
• RQ3 経験的測度の極限が典型的な粒子の法則と一致しない場合はどのような状況か？
• RQ4 ユニモジュラー・ギャルトン＝ワトソン木上での典型的な粒子の近傍で、極限ダイナミクスの非マルコフ性はどのように生じるか？
• RQ5 過去の近傍プロセス履歴を条件とした現在の状態の条件付き法は、極限ダイナミクスにおいてどのような役割を果たすか？

主な発見

• グラフ列 $G_n$ が分布的に $G$ に局所収束する限り、粒子系は制限グラフ $G$ 上の極限拡散へ弱い局所的収束を示す。
• 特定のグラフ列（例えばスパース・エローズ＝レニイ・グラフ）では、経験的測度の極限が決定論的であり、典型的な粒子の法則と一致する。
• 一般には、典型的な粒子の法則が決定論的であっても、経験的測度の極限が確率的のまま残る可能性がある。
• ユニモジュラー・ギャルトン＝ワトソン木上では、典型的な粒子の近傍の極限ダイナミクスが有限次元の非マルコフ過程によって特徴付けられる。
• この非マルコフ過程の無限小的変化は、現在の状態および過去の近傍プロセスを条件とした状態の条件付き法に依存する。
• 本研究では、スパース・エローズ＝レニイ・グラフ上の極限を特徴付ける未解決問題を、独創的な非マルコフ表現によって解決した。