[論文レビュー] Large subgraphs without complete bipartite graphs

David Conlon, Jacob Fox+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Foucaud, Krivelevich, および Perarnau が提起した、$m$ 条の辺を持つ任意のグラフにおける $K_{r,s}$-free 部分グラフの最大サイズに関する問題を解決する。確率的技法と数え上げ的議論を用いて、$\Omega(m^{r/(r+1)})$ 条の辺に対するタイトな下界を証明し、これは $s$ に依存する定数因子を除いて最適であり、同様の境界を $k$-一様超グラフへと拡張する。

ABSTRACT

In this note, we answer the following question of Foucaud, Krivelevich and Perarnau. What is the size of the largest $K_{r,s}$-free subgraph one can guarantee in every graph $G$ with $m$ edges? We also discuss the analogous problem for hypergraphs.

研究の動機と目的

• Foucaud, Krivelevich, および Perarnau が提起した未解決問題を解き、$m$ 条の辺を持つすべてのグラフにおいて保証される $K_{r,s}$-free 部分グラフの最大サイズを特定すること。
• 関数 $f(m, K_{r,s})$、すなわち任意の $m$-辺グラフにおける最大の $K_{r,s}$-free 部分グラフのサイズに対するタイトな漸近的境界を確立すること。
• グラフから $k$-一様超グラフへと結果を拡張し、$m$-辺 $k$-グラフにおける $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 部分グラフのサイズを分析すること。
• 上界に達する極値グラフを構成することで、境界が定数因子を除いて最適であることを示すこと。

提案手法

• 各辺を確率 $p = \frac{1}{2}m^{-1/(r+1)}$ で独立に選択してランダム部分グラフ $G'$ を形成する、確率的辺削除手順を適用する。
• 期待値の線形性を用いて、$G'$ における辺の期待数および $K_{r,r}$ のコピー数を計算する。これは、任意の $m$-辺グラフにおいて $K_{r,r}$ のコピーが高々 $2m^r$ 個であるという上界に依存する。
• $G'$ 内の各 $K_{r,r}$ コピーから1つの辺を削除して $K_{r,r}$-free 部分グラフを得る。これにより、期待サイズが $\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$ 以上である下界が得られる。
• 完全二部グラフ（部分のサイズが $m^{1/(r+1)}$ と $m^{r/(r+1)}$）を構成することで、任意の $K_{r,s}$-free 部分グラフにおける上界 $sm^{r/(r+1)}$ を示す。Kővári–Sós–Turán 数え上げ的議論を用いる。
• $k$-一様超グラフへと拡張する際には、マッチングによる $K^{(k)}_{r,\dots,r}$ コピー数の上界を導出し、$p = \frac{1}{2}m^{-1/q}$（$q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$）を用いた同様の確率的削除技法を適用する。
• $k$-部グラフにおける一般化された帰納法を用いて、超グラフの場合の最適性を証明する。$k$-部 $k$-グラフの各部分のサイズを適切に選ぶことで、$K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 部分グラフにおける辺数が高々 $rm^{(q-1)/q}$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $m$-辺グラフにおいて、保証される最大の $K_{r,s}$-free 部分グラフはどれくらいのサイズか？
• RQ2 $f(m, K_{r,s})$ の境界を、$s$ に依存する定数因子を除いてタイトなものにできるか？
• RQ3 密度の高い二部グラフにおける $K_{r,s}$-free 部分グラフの極値構造はどのように振る舞うか？
• RQ4 グラフ論的結果を、完全 $k$-部 $k$-グラフを禁止部分グラフとする $k$-一様超グラフへと拡張できるか？
• RQ5 $k$-一様超グラフにおける $f(m, K^{(k)}_{r,\dots,r})$ の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 本論文は、確率的技法と辺削除を用いて、任意の $m$-辺グラフにおける最大の $K_{r,r}$-free 部分グラフのサイズに対して $\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$ の下界を確立する。
• この境界は定数因子を除いてタイトである：部分のサイズが $m^{1/(r+1)}$ と $m^{r/(r+1)}$ の完全二部グラフでは、最大の $K_{r,s}$-free 部分グラフは高々 $sm^{r/(r+1)}$ 条の辺をもつ。
• $k$-一様超グラフにおいて、最大の $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 部分グラフのサイズは少なくとも $\frac{1}{4}m^{(q-1)/q}$ であり、$q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$ である。この境界は定数因子を除いてタイトである。
• 上界の極値構成では、$m^{r^{i-1}/q}$ のサイズを持つ部分を持つ完全 $k$-部 $k$-グラフを用い、正確に $m$ 条の辺を確保し、最大の $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 部分グラフサイズを達成する。
• 証明は、$k$-部 $k$-グラフにおける新しい帰納的数え上げ的議論に依存しており、ある部分の平均次数が $r$ 以上であれば、$K^{(k)}_{r,\dots,r}$ コピー数が $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free の限界を超えることが示され、矛盾が生じる。
• 驚くべきことに、一般には $K_{r,s}$ のツーラン数が不明であるが、本論文は $m$-辺グラフにおける部分グラフサイズに対してタイトな境界を達成している。