[論文レビュー] Large time average of reachable sets and Applications to Homogenization of interfaces moving with oscillatory spatio-temporal velocity

Wenjia Jing, Panagiotis E. Souganidis+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、幾何的制御手法を用いて、空間的・時間的周期的・エルゴード的状況下での、時間に依存する振動型速度を有するフロント伝播の均質化を、到達可能集合の長時間平均を分析することによって確立する。時間の経過に伴い、スケーリングされた到達可能集合は局所的に一様にコンパクトかつ凸な集合 D に収束することを証明し、これにより、任意の次元において、一様推移的推移のない条件下でも、振動的かつ時間に依存する速度を有するフロント伝播の均質化が可能となる。

ABSTRACT

We study the averaging of fronts moving with positive oscillatory normal velocity, which is periodic in space and stationary ergodic in time. The problem can be reformulated as the homogenization of coercive level set Hamilton-Jacobi equations with spatio-temporal oscillations. To overcome the difficulties due to the oscillations in time and the sublinear growth of the Hamiltonian, we first study the long time averaged behavior of the associated reachable sets using geometric arguments. The results are new for higher than one dimensions even in the space-time periodic setting.

研究の動機と目的

• 時間に依存する振動型速度を有する制御系の到達可能集合の長時間漸近的挙動を分析すること。
• 時間に依存する線形成長型ハミルトニアンを有するハミルトン・ジャコビ方程式において、一様推移的推移の欠如を克服するため、到達可能集合の長時間平均を研究すること。
• 高次元における空間的・時間的周期的・エルゴード的ハミルトニアンのレベルセット型ハミルトン・ジャコビ方程式の均質化を確立すること。
• 回転数に関する既知の1次元結果を、高次元の空間時間周期的および定常エルゴード的状況に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、幾何的議論に基づき、t→∞ のときの t⁻¹ℛₜ(x,ω) の極限に注目して、長時間平均の到達可能集合を研究する。
• Lax-Oleinikの公式を用いて、ハミルトン・ジャコビ方程式の解と制御系の到達可能集合を関連付ける。
• 制御系は γ′(r) = a(γ(r), r, ω)ξ(r, ω) で定義され、|ξ| ≤ 1 であり、ℛₜ(x,ω) は時間 t 以内に到達可能な点の集合である。
• 本稿では、スケーリングされた到達可能集合がコンパクトかつ凸な集合 D に局所的に一様に収束することを証明し、これにより有効ハミルトニアンが定義される。
• 有効ハミルトニアンを用いた有効方程式の解に、解 u^ε が局所的に一様に収束することを示すことにより、均質化極限を導出する。
• 積分シフトおよび最近接整数近似を用いて、時間の平行移動を制御することにより、非強制的状況への拡張が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2 次元において、空間時間に振動する速度を有する系の到達可能集合の長時間漸近的挙動は何か？
• RQ2 一様推移的推移の欠如があるにもかかわらず、時間に依存する線形成長型ハミルトニアンを有するハミルトン・ジャコビ方程式の均質化は達成可能か？
• RQ3 到達可能集合の平均は、振動的媒体における有効フロント伝播速度とどのように関係するか？
• RQ4 1次元の回転数に関する結果は、高次元の空間時間周期的またはエルゴード的状況にどの程度一般化可能か？
• RQ5 非強制的方程式に、空間時間混合依存性を有する均質化結果を拡張可能か？

主な発見

• t→∞ のとき、到達可能集合の長時間平均 t⁻¹ℛₜ(x,ω) は、ほとんど確実に局所的に一様にコンパクトかつ凸な集合 D に収束する。
• 有効ハミルトニアンは H̄(p) = sup_{y∈D} p·y で与えられ、均質化方程式は u_t + H̄(Du) = 0 である。
• 元の方程式の解 u^ε は、ε→0 のとき、均質化方程式の解に局所的に一様に収束する。
• 結果は空間時間周期的および時間に定常エルゴード的な速度場の両方に対して成り立ち、従来の1次元結果を拡張する。
• 収束は時間平行移動に対して安定であり、非強制的方程式に、追加の時間的変数を含む場合への拡張が可能である。
• 本手法は、特に線形成長型時間振動ハミルトニアンにおいて、事前一様推移的推移の欠如がある状況における均質化の新たなアプローチを提供する。