[論文レビュー] Large time behavior in random multiplicative processes

György Steinbrecher, X. Garbet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元の確率的乗法的過程の解の長時間挙動を支配する臨界指数 $\beta_c$ について、簡単な解析的公式を確立する。一般化された $L^p$ 空間および位相的ベクトル空間における新規な弱収束手法を用い、$p < \beta_c$ の場合に分数モーメント $\mathbb{E}[|X_t|^p]$ が有界であり、$p > \beta_c$ の場合に発散することを証明する。また、古典的弱収束よりも強い新しい位相において、解が定常分布に収束することを示す。

ABSTRACT

In a general class of one dimensional random differential equation the convergence of the distribution function of the solution to stationary state distribution is studied. In particular it is proved the boundedness respectively the divergence of the fractional order moments of the solution below respectively above some critical exponent. This exponent is computed. In particular models it is the heavy tail exponent. When the equation is linear this exponent determines a new family of weak topologies (stronger compared to the classical one), related to the convergence to the stationary state.

研究の動機と目的

• 一般の1次元確率的微分方程式（RDE）に、定常な加法的および乗法的ノイズが作用する場合の、解の長時間挙動を特徴づけること。
• 解の分数モーメントが有界か発散するかを分ける臨界指数 $\beta_c$ を特定すること。
• 古典的弱位相よりも強い新しい弱位相族を確立し、その下で解が定常分布に収束することを示すこと。
• 弱非線形性を有する非線形RDEに対しても解析を拡張し、同様のモーメント挙動が $\beta_c$ によって支配されることを証明すること。
• 加法的項とは無関係に、乗法的ノイズのパラメータのみに依存する、明示的かつ解析的に取り扱いやすい $\beta_c$ の公式を提供すること。

提案手法

• 線形RDEの解を $X_t = x_0 A_t + \widetilde{B}_t$ と表現し、$A_t$ と $\widetilde{B}_t$ をそれぞれ乗法的ノイズおよび加法的ノイズから導かれる確率過程とする。
• $(0,1)$ および $p > 1$ の一般化された $L^p$ 空間を用い、$\|f\|_p = \left(\mathbb{E}[|f|^p]\right)^{\sigma_p/p}$ というノルムを用いてモーメント挙動を分析する。
• 位相的ベクトル空間の手法を用い、確率測度上に古典的弱位相よりも強い新しい弱収束位相を定義する。
• 不等式 (36)–(38) を用いて $\|X_t\|_p$ の境界を導出し、$\|X_t\|_p$ を $\|A_t\|_p$ および $\|\widetilde{B}_t\|_p$ に結びつける。ここで指数的成長率 $\gamma_p$ を用いる。
• $\gamma_p < 0$ が $p < \beta_c$ の場合に成り立ち、$\gamma_p > 0$ が $p > \beta_c$ の場合に成り立つことから、それぞれモーメントが有界または発散することを示す。
• 非線形RDEに対しても、暗黙の積分形式および同様のモーメント境界を用いて解析を拡張し、$p > \beta_c$ で指数的発散が生じ、初期条件が大きい場合に成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的乗法的過程において、分数モーメントが有界か発散するかを分ける臨界指数 $\beta_c$ は、何に依存するか？
• RQ2 定常状態への収束はどのように起こり、その収束を支配する位相的構造は何か？
• RQ3 乗法的ノイズのパラメータから、加法的ノイズとは独立に $\beta_c$ を明示的に計算できるか？
• RQ4 初期条件が大きい場合に、$p < \beta_c$ と $p > \beta_c$ における $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ の分数モーメントの挙動はどのように変化するか？
• RQ5 線形RDEに対して得られた結果は、弱非線形性を有する非線形モデルへどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 臨界指数 $\beta_c$ は、乗法的ノイズのパラメータにのみ依存する簡単な明示的公式（式6）で与えられ、加法的項とは無関係である。
• $p < \beta_c$ の場合、初期条件にかかわらず $t \to \infty$ のとき $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ は有界のままである。
• $p > \beta_c$ の場合、初期条件が十分に大きいと $\mathbb{E}[|X_t + z|^p]$ は指数的に発散する。
• 解の分布が定常状態に収束する際の収束は、$\gamma < \beta_c$ を満たす $C_\gamma(\mathbb{R})$ 関数を用いて定義される、古典的位相よりも強い新しい弱位相で起こる。
• 解 $X_\infty$ はすべての $0 < p < \beta_c$ に対して $L^p$ に属するため、定常分布の重尾性が $\beta_c$ の指数で確認される。
• 弱非線形性を有する非線形RDEにおいても、同様に $\beta_c$ がモーメント挙動を支配する：$p < \beta_c$ では有界、$p > \beta_c$ では発散する（初期条件が大きい場合）。