[論文レビュー] Large time behaviour of mild solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in infinite dimension by a probabilistic approach

Ying Hu, Pierre-Yves Madec+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限次元空間におけるハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン（HJB）方程式の弱解の長時間挙動を、確率的手法を用いて分析する。有限時間ホライズン T における後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解が、時間ホライズン T に比例する項と、関連する定常的BSDE（EBSDE）に由来する補正項に分解され、収束速度が明示的に導出されることを確立している。これは文献において非常に稀な結果である。

ABSTRACT

We study the large time behaviour of mild solutions of HJB equations in infinite dimension by a purely probabilistic approach. For that purpose, we show that the solution of a BSDE in finite horizon $T$ taken at initial time behaves like a linear term in $T$ shifted with the solution of the associated EBSDE taken at initial time. Moreover we give an explicit speed of convergence, which seems to appear very rarely in literature.

研究の動機と目的

• 無限次元設定におけるHJB方程式の弱解の長時間漸近的挙動を理解すること。
• このような方程式の長時間ダイナミクスを解析するための純粋な確率的アプローチを開発すること。
• 解の漸近的構造を、時間 T に比例する項と、定常的成分（EBSDE）に由来する補正項の形で特徴付けること。
• 漸近的近似への収束速度を明示的に導出すること。これは、既存の文献においてほとんど取り上げられていない特徴である。

提案手法

• 有限時間ホライズン T における後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に注目し、確率的枠組みを採用する。
• 時間 0 における有限ホライズン BSDE の解を、T に比例する項と剰余項に分解する。
• T → ∞ のとき、剰余項が関連する定常的BSDE（EBSDE）の解に収束することを示す。
• EBSDE 解の性質と確率的推定を用いて、収束速度を明示的に導出する。
• 動的プログラミング原理を介したHJB方程式と確率的制御の間の関係に依拠する。
• 偏微分方程式（PDE）に基づく技術を避けて、代わりに確率積分計算とBSDE理論に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間ホライズン T が無限大に近づくとき、有限ホライズン BSDE の解はどのように振る舞うか？
• RQ2 無限次元HJB方程式の弱解の長時間挙動は、確率的手法を用いて特徴付けられるか？
• RQ3 解の漸近的構造は、T と定常的成分の観点からどのように記述できるか？
• RQ4 解がその漸近形に収束する明示的な速度は何か？

主な発見

• 初期時刻における有限ホライズン BSDE の解は、漸近的に T に比例する関数として振る舞い、それに補正項が加わる。
• 補正項は T → ∞ のとき、関連する定常的BSDE（EBSDE）の解に収束する。
• 収束速度が明示的に導出されており、これは文献において非常に稀な貢献である。
• 確率的アプローチにより、PDEの正則性仮定に依存せずに、長時間挙動を直接的かつ構成的に解析できる。