[論文レビュー] Largest eigenvalue distribution in the double scaling limit of matrix models: A Coulomb fluid approach

Yang Chen, K J Eriksen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 1995

Theoretical and Computational Physics被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、クーロン流近似を用いて、二重スケーリング極限におけるヘルミート行列モデルにおける最大固有値の漸近的分布を導出する。大きな $ s $ に対して、$(-s, \infty)$ に固有値がない確率は $ \exp(-s^{2\gamma+2}) $ として減少し、$ \gamma = m - 1/2 $ は多重臨界点を特徴付ける。また、遷移領域のサイズが $ N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))} $ であることが確認され、これは弦方程式の結果と整合的である。

ABSTRACT

Using thermodynamic arguments we find that the probability that there are no eigenvalues in the interval (-s,\infty) in the double scaling limit of Hermitean matrix models is O(exp(-s^{2m+1})) as s o+\infty.Here m=1,2,3.. determine the m^{th} multi-critical point of the level density:σ(x)\sim b[1-(x/b)^2]^{m-1/2} and b^2\sim N.Furthermore,the size of the transition zone where the eigenvalue density becomes vanishingly small at the tail of the spectrum is \sim N^{(m-3/2)/(2m+1)} in agreement with earlier work based on the string equation.

研究の動機と目的

• ヘルミート行列モデルにおける二重スケーリング極限における最大固有値分布の漸近的挙動を特定すること。
• 熱力学的およびクーロン流近似を適用し、$ s \to \infty $ のとき、区間 $(-s, \infty)$ に固有値がない確率を計算すること。
• スペクトル端における固有値密度が消える遷移領域のスケーリングを導出すること。
• 流体近似の結果を、既知の弦方程式およびピ卡レ―理論からの結果と結びつけること。

提案手法

• Dysonのクーロン流モデルを用いて、固有値分布を連続的電荷密度 $\sigma(x)$ として近似する。
• 連続近似を適用し、除外区間上の自由エネルギー差 $\Delta F = -\ln E_2(0;J)$ を積分で表現する。
• 変分原理と条件 $V(x) - 2\int \ln|x-y|\sigma(y)dy = \text{定数}$ を用いて、固有値密度問題を特異積分方程式に変換する。
• 超幾何関数 $_2F_1$ を含む既知の特殊関数を用いて積分方程式を解き、一般の多重臨界ポテンシャルにおける $\sigma(x)$ を導出する。
• 結合定数を調整して、$\sigma(x) \propto b[1 - (x/b)^2]^\gamma$ となるようにし、$m$ 階の多重臨界点では $\gamma = m - 1/2$ とする。
• 端付近の長さ $l$ の区間に除外される固有値の数 $N(l)$ を計算し、$N(l) \sim s^{\gamma+1}$ から $\log E_2(s) \sim -s^{2\gamma+2}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重スケーリング極限において、$ s \to \infty $ のとき、$(-s, \infty)$ に固有値がない確率の漸近的減衰率は何か？
• RQ2 多重臨界点における、固有値密度がゼロに減少する遷移領域のサイズは $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 クーロン流近似は、既知のスケーリング $N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))}$ を再現できるか？
• RQ4 固有値密度 $\sigma(x) \propto [1 - (x/b)^2]^\gamma$ において、$\gamma = m - 1/2$ のとき、端付近での挙動はどのように振る舞うか？

主な発見

• 大きな $ s $ に対して、$(-s, \infty)$ に固有値がない確率は $ \exp(-s^{2\gamma+2}) $ として減少し、$ \gamma = m - 1/2 $ である。
• 端付近の長さ $l$ の区間に除外される固有値の数は $ N(l) \sim s^{\gamma+1} $ とスケーリングし、ここで $ s = l / N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))} $ である。
• 密度がゼロに減少する遷移領域のサイズは $ \approx N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))} $ であり、弦方程式の結果と一致する。
• ソフトエッジにおける固有値密度は $ \sigma_N(\sqrt{N}) \sim N^{(1-\gamma)/(2(1+\gamma))} $ とスケーリングし、非摂動的エッジ挙動を確認する。
• 導出結果は、クーロン流近似が、多重臨界領域でさえも最大固有値尾部の正しい漸近的挙動を再現できることを確認する。