[論文レビュー] LaSalle Invariance Principle for Discrete-time Dynamical Systems: A Concise and Self-contained Tutorial

Wenjun Mei, Francesco Bullo|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 14被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、離散時間非線形力学系におけるラサラ不変性原理についての自己完結的なチュートリアルを提供しており、ラサラの元論文で必要な補題を厳密に証明し、漸近的安定性を確立する。Lyapunov関数と不変集合を用いて差分方程式における原理を確立し、Lyapunov関数が減少しない最大不変集合に軌道が収束することを示している。これは、有限時間後に定義域の境界上に存在しない場合でも成り立つ。

ABSTRACT

LaSalle invariance principle was originally proposed in the 1950's and has become a fundamental mathematical tool in the area of dynamical systems and control. In both theoretical research and engineering practice, discrete-time dynamical systems have been at least as extensively studied as continuous-time systems. For example, model predictive control is typically studied in discrete-time via Lyapunov methods. However, there is a peculiar absence in the standard literature of standard treatments of Lyapunov functions and LaSalle invariance principle for discrete-time nonlinear systems. Most of the textbooks on nonlinear dynamical systems focus only on continuous-time systems. In Chapter 1 of the book by LaSalle [11], the author establishes the LaSalle invariance principle for difference equation systems. However, all the useful lemmas in [11] are given in the form of exercises with no proof provided. In this document, we provide the proofs of all the lemmas proposed in [11] that are needed to derive the main theorem on the LaSalle invariance principle for discrete-time dynamical systems. We organize all the materials in a self-contained manner. We first introduce some basic concepts and definitions in Section 1, such as dynamical systems, invariant sets, and limit sets. In Section 2 we present and prove some useful lemmas on the properties of invariant sets and limit sets. Finally, we establish the original LaSalle invariance principle for discrete-time dynamical systems and a simple extension in Section~3. In Section 4, we provide some references on extensions of LaSalle invariance principles for further reading. This document is intended for educational and tutorial purposes and contains lemmas that might be useful as a reference for researchers.

研究の動機と目的

• 標準教科書において離散時間非線形系のラサラ不変性原理について包括的な取り扱いが不足しているという問題に対処すること。
• 主定理を導出するために必要な、ラサラの元論文（JPL:76）のすべての補題を完全かつ自己完結的に証明すること。
• 研究者および学生が理解しやすい形で、厳密かつアクセス可能な形で離散時間のラサラ不変性原理を確立すること。
• Lyapunov関数とシステム写像が定義域の境界上に存在しない場合でも、解が境界から一様に離れて保たれる場合に、古典的原理を拡張すること。

提案手法

• 連続写像 T と反復 x(n+1) = T(x(n)) を用いた離散半力学系の形式的定義。
• 閉包と逐次収束を用いた、極限集合、不変集合、およびそれらの位相的性質の導入。
• 連続写像と有界軌道の下での極限集合のコンパクト性および不変性に関する補題の証明。
• 主定理としてのラサラ不変性原理の導出：Lyapunov関数 V が軌道に沿って非増加であり、システムが有界である場合、軌道は V の差分がゼロとなる集合内の最大不変集合に収束する。
• 写像 T と関数 V が集合 G の境界上で定義されていなくても、解が有限時間 N 後にコンパクト集合 Gc 内に留まる限り、原理を拡張すること。
• 逐次コンパクト性と連続性を用いて、極限集合が空でなく、コンパクトかつ不変であることを示し、収束解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準文献に完全な証明が不足している中で、離散時間非線形系におけるラサラ不変性原理をどのように厳密に確立できるか？
• RQ2 Lyapunov関数の減少に基づいて、離散時間系の軌道が不変集合に収束するための必要十分条件は何か？
• RQ3 Lyapunov関数と力学系が定義域の境界上で定義されていない場合でも、古典的ラサラ原理を拡張できるか？
• RQ4 極限集合および不変集合のどのような位相的性質が、離散時間系における収束を保証するか？
• RQ5 写像 T と Lyapunov関数 V のコンパクト性および連続性の性質が、漸近的安定性を保証する仕組みは何か？

主な発見

• 任意の有界軌道の極限集合 Ω(x₀) は空でなく、コンパクトであり、写像 T に関して不変である。
• Lyapunov関数 V が軌道に沿って非増加であり、システムが有界である場合、軌道は V(T(x)) - V(x) = 0 となる集合内の最大不変集合 M に収束する。
• 写像 T と関数 V が集合 G の境界上で定義されていなくても、解が有限時間 N 後にコンパクト集合 Gc 内に留まる限り、拡張されたラサラ原理は成り立つ。
• M ∩ V⁻¹(c) に x(n) が収束することは、ある c ∈ ℝ に対して保証される。ここで M は V の差分がゼロとなる集合内の最大不変集合である。
• 証明は逐次コンパクト性と連続性に依拠しており、軌道の極限点が V⁻¹(c) および不変集合 M の両方に属することを示している。
• 本論文は、離散時間のラサラ不変性原理に必要なすべての補題の完全で自己完結的な証明を提供することで、文献における重要な空白を埋めている。