[論文レビュー] Lasserre Hierarchy for Graph Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability

David E. Roberson, Tim Seppelt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、グラフ同型性のためのラッセルの半定値計画法階層の $t$-番目の段階の実行可能性が、特定のグラフクラス $\mathcal{L}_t$ におけるホモモーフィズムの不辺別性と同値であることを確立し、シェラリ–アダムス線形計画法階層の $3t$-番目の段階が、ラッセルの $t$-番目の段階と同等の強さを持つことを証明している。この上限はタイトである。さらに、非負制約付きのラッセル階層は、$\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性によって特徴づけられ、任意の段階での識別可能性を決定する多項式時間アルゴリズムが提示されている。

ABSTRACT

We show that feasibility of the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre semidefinite programming hierarchy for graph isomorphism can be expressed as a homomorphism indistinguishability relation. In other words, we define a class $\mathcal{L}_t$ of graphs such that graphs $G$ and $H$ are not distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy if and only if they admit the same number of homomorphisms from any graph in $\mathcal{L}_t$. By analysing the treewidth of graphs in $\mathcal{L}_t$, we prove that the $3t^ ext{th}$ level of Sherali--Adams linear programming hierarchy is as strong as the $t^ ext{th}$ level of Lasserre. Moreover, we show that this is best possible in the sense that $3t$ cannot be lowered to $3t-1$ for any $t$. The same result holds for the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints, which we similarly characterise in terms of homomorphism indistinguishability over a family $\mathcal{L}_t^+$ of graphs. Additionally, we give characterisations of level-$t$ Lasserre with non-negativity constraints in terms of logical equivalence and via a graph colouring algorithm akin to the Weisfeiler--Leman algorithm. This provides a polynomial time algorithm for determining if two given graphs are distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints.

研究の動機と目的

• グラフ同型性のためのラッセル階層とシェラリ–アダムス階層の正確な関係、特に与えられたラッセル段階に一致させるために必要な最小のシェラリ–アダムス段階数という未解決の問題に取り組む。
• 明示的に定義されたグラフクラス $\mathcal{L}_t$ および $\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性を用いて、非負制約付きおよび非負制約なしのラッセル階層の $t$-番目の段階の実行可能性を特徴づける。
• ラッセル階層の $t$-番目の段階に一致させるために、シェラリ–アダムス階層が $3t$ 段階で十分であることを示し、$3t-1$ 段階では不十分であることを示すタイトな境界を確立する。
• 非負制約付きのラッセル階層の $t$-番目の段階が、2つのグラフを識別できるかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムを提供する。
• ラッセル階層を論理的同値性およびワイスフェーラー–レマンアルゴリズムに類似した色分けアルゴリズムと結びつけ、そのモデル理論的およびアルゴリズム的特徴付けを拡張する。

提案手法

• 本稿は、2つのグラフ $G$ と $H$ がラッセル階層の $t$-番目の段階で区別不能であるための必要十分条件として、$\mathcal{L}_t$ に属するすべてのグラフからのホモモーフィズムの数が等しいこと、すなわち $\mathcal{L}_t$ におけるホモモーフィズムの不辺別性を定義する。
• グラフ $\mathcal{L}_t$ の木に類似した構造の平行合成に関する閉包として定義され、その木幅が $t-1$ で有界であることを証明する。これにより、既知の木幅とシェラリ–アダムスの実行可能性の関係を応用でき、$3t$ 段階の等価性が導かれる。
• 非負制約付きのラッセル階層に対しては、関連するクラス $\mathcal{L}_t^+$ を定義し、その実行可能性が $\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性と同値であることを示す。この際、量子グラフ理論と線形代数的手法を用いる。
• $\text{mwl}^{i+1/2}$-色の多重集合に基づく色分けアルゴリズムを構築し、ワイスフェーラー–レマンプロセスを模倣する。このアルゴリズムは、$\mathcal{L}_t^+$ における論理的同値性を特徴付けるために用いられる。
• モデル理論的ツール、特に $\mathcal{M}_t$-論理式および文を用いて、ホモモーフィズムの不辺別性を $2t$-頂点の組の一次論理に結びつける。
• 平行合成に関する閉包性に基づく補間的議論を用い、$\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性のテストを、色分けアルゴリズムの実行に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シェラリ–アダムス階層の $3t$-番目の段階は、グラフ同型性のためのラッセル階層の $t$-番目の段階の実行可能性を保証するのに十分か？
• RQ2 $3t$ の上限を $3t-1$ に改善できるか、それともすべての $t$ に対してタイトか？
• RQ3 非負制約付きのラッセル階層の $t$-番目の段階が2つのグラフを識別できるかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 非負制約付きのラッセル階層は、$\mathcal{M}_t$-論理における論理的同値性によって完全に特徴づけられるか？
• RQ5 非負制約なしのラッセル階層のホモモーフィズムの不辺別性特徴付けを、類似した色分けまたはゲームベースの特徴付けに拡張することは可能か？

主な発見

• グラフ同型性のためのラッセル階層の $t$-番目の段階の実行可能性は、特定の木に類似した構造の平行合成に関する閉包として定義されるグラフクラス $\mathcal{L}_t$ におけるホモモーフィズムの不辺別性と同値である。
• シェラリ–アダムス階層の $3t$-番目の段階は、ラッセル階層の $t$-番目の段階と同等の強さであり、この境界はタイトである。すなわち、任意の $t$ に対して、$3t-1$-番目の段階では区別できないが、$t$-番目の段階のラッセル階層では区別できるグラフ $G$ と $H$ が存在する。
• 非負制約付きのラッセル階層は、平行合成に関して閉じており、木幅が $t-1$ で有界なクラス $\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性によって特徴づけられる。
• 非負制約付きのラッセル階層の $t$-番目の段階が2つのグラフを識別できるかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムが存在する。このアルゴリズムは、$2t$-頂点の組に基づく色分けプロセスに依存する。
• $\mathcal{M}_t$-論理における論理的同値性は、$\mathcal{L}_t^+$ におけるホモモーフィズムの不辺別性と完全に一致し、この同値性は $\text{mwl}^{\infty}$-色分けの refine に対しても保存される。
• ラッセル階層の $t-1$-番目の段階が、シェラリ–アダムス階層の $t$-番目の段階で再現可能かどうかは、未解決の問題であり、現在の結果では $3t-1$ がラッセル階層に十分かどうかは明らかでない。