[論文レビュー] Lasserre SDPs, $\ell_1$-embeddings, and approximating non-uniform sparsest cut via generalized spectra

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、Lasserre階層のSDPと、SDPから得られるベクトルのℓ₁埋め込みを用いて、非一様スパーステストカット問題の新しい近似アルゴリズムを提示する。r番目の最小一般固有値がλ_r ≥ Φ*/(1−δ)を満たす場合、時間 2^{r/(δε)}·poly(n) において (1+ε)/δ-近似が達成可能であり、本問題に対して高次スペクトルを初めて用いたものであり、一般性と定量的保証の両面で先行研究を改善する。

ABSTRACT

We give an approximation algorithm for non-uniform sparsest cut with the following guarantee: For any $\epsilon,\delta \in (0,1)$, given cost and demand graphs with edge weights $C, D$ respectively, we can find a set $T\subseteq V$ with $\frac{C(T,V\setminus T)}{D(T,V\setminus T)}$ at most $\frac{1+\epsilon}{\delta}$ times the optimal non-uniform sparsest cut value, in time $2^{r/(\delta\epsilon)}\poly(n)$ provided $\lambda_r \ge \Phi^*/(1-\delta)$. Here $\lambda_r$ is the $r$'th smallest generalized eigenvalue of the Laplacian matrices of cost and demand graphs; $C(T,V\setminus T)$ (resp. $D(T,V\setminus T)$) is the weight of edges crossing the $(T,V\setminus T)$ cut in cost (resp. demand) graph and $\Phi^*$ is the sparsity of the optimal cut. In words, we show that the non-uniform sparsest cut problem is easy when the generalized spectrum grows moderately fast. To the best of our knowledge, there were no results based on higher order spectra for non-uniform sparsest cut prior to this work. Even for uniform sparsest cut, the quantitative aspects of our result are somewhat stronger than previous methods. Similar results hold for other expansion measures like edge expansion, normalized cut, and conductance, with the $r$'th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian playing the role of $\lambda_r$ in the latter two cases. Our proof is based on an l1-embedding of vectors from a semi-definite program from the Lasserre hierarchy. The embedded vectors are then rounded to a cut using standard threshold rounding. We hope that the ideas connecting $\ell_1$-embeddings to Lasserre SDPs will find other applications. Another aspect of the analysis is the adaptation of the column selection paradigm from our earlier work on rounding Lasserre SDPs [GS11] to pick a set of edges rather than vertices. This feature is important in order to extend the algorithms to non-uniform sparsest cut.

研究の動機と目的

• 標準的なスペクトルギャップを超える高次スペクトル情報を利用した、非一様スパーステストカット問題の近似アルゴリズムの開発。
• ℓ₁埋め込みに基づく新たなラウンディングフレームワークを導入することで、Lasserre階層SDPを非一様スパーステストカットに拡張する。
• コストと需要のラプラシアン行列の一般固有値の増加率に依存する定量的近似保証の提供。
• r番目の最小固有値を用いた正規化ラプラシアンのr番目の最小固有値がλ_rとして機能するように、エッジ拡張、正規化カット、コンダクタンスなどの他の拡張測度へ一般化する。
• ラウンディングにおける列選択パラダイムを頂点ベースからエッジベースに変更し、非一様設定への拡張を可能にする。

提案手法

• Lasserre階層を用いて、非一様スパーステストカット問題の半定値計画（SDP）緩和を生成する。
• SDP解から得られるベクトルを、カット構造を保持するように確率的埋め込み手法を用いてℓ₁空間に埋め込む。
• 埋め込まれたℓ₁ベクトルに対してしきい値ラウンディング手順を適用し、元のグラフにおけるカットを生成する。
• 分析において、従来の頂点ベース選択を置き換えるエッジベースの列選択パラダイムを導入し、非一様な需要とコスト構造に対処する。
• カットの品質を、コストと需要のグラフのラプラシアン行列のr番目の最小一般固有値λ_rと関連付けることで、近似保証を導出する。
• 時間計算量は2^{r/(δε)}·poly(n)で抑えられ、指数部は固有値条件λ_r ≥ Φ*/(1−δ)に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コストと需要のラプラシアン行列の高次一般固有値を用いて、非一様スパーステストカット問題のより良い近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 ℓ₁埋め込みとエッジベースラウンディングを用いて、Lasserre SDP階層を非一様スパーステストカットにどのように適合できるか？
• RQ3 この設定において、近似比とスペクトル条件λ_r ≥ Φ*/(1−δ)との間の定量的トレードオフは何か？
• RQ4 先行研究の列選択パラダイムを頂点からエッジへ一般化することで、非一様な需要とコスト構造をサポートできるか？
• RQ5 同様の技術が、エッジ拡張や正規化カットなどの他のグラフ拡張測度へどの程度拡張可能か？

主な発見

• r番目の最小一般固有値λ_rがλ_r ≥ Φ*/(1−δ)を満たす条件下で、アルゴリズムは非一様スパーステストカット値に対して(1+ε)/δ-近似を達成する。
• 実行時間は2^{r/(δε)}·poly(n)で抑えられ、一般固有スペクトルがやや成長する場合に問題が実行可能になることが示された。
• これは、非一様スパーステストカット問題に対して高次スペクトルを初めて用いた結果であり、スペクトルグラフ理論と近似アルゴリズム分野における重要なギャップを埋めた。
• 本手法は他の拡張測度へ一般化可能である。エッジ拡張や正規化カットの場合は、正規化ラプラシアンのr番目の最小固有値がλ_rとして機能する。
• ℓ₁埋め込みとしきい値ラウンディングの組み合わせにより、非一様設定におけるLasserre SDP解の有効なラウンディングが可能になった。
• 頂点からエッジへの列選択パラダイムの適応は、非一様スパーステストカットへの手法の拡張にとって不可欠である。