[論文レビュー] Latent Gaussian modeling and INLA: A review with focus on space-time applications

Thomas Opitz|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、潜在ガウス過程と統合ネストラス近似（INLA）フレームワークについてレビューし、時空間データへの応用に焦点を当てる。INLAが、確率的偏微分方程式から導かれるガウス・マルコフ確率的フィールドを用いて、高速かつ高精度なベイズ推論を可能にすることを示す。R-INLAパッケージによる実装と、非ガウス型時空間カウントデータに対するシミュレーションスタディによる妥当性が確認されている。

ABSTRACT

Bayesian hierarchical models with latent Gaussian layers have proven very flexible in capturing complex stochastic behavior and hierarchical structures in high-dimensional spatial and spatio-temporal data. Whereas simulation-based Bayesian inference through Markov Chain Monte Carlo may be hampered by slow convergence and numerical instabilities, the inferential framework of Integrated Nested Laplace Approximation (INLA) is capable to provide accurate and relatively fast analytical approximations to posterior quantities of interest. It heavily relies on the use of Gauss-Markov dependence structures to avoid the numerical bottleneck of high-dimensional nonsparse matrix computations. With a view towards space-time applications, we here review the principal theoretical concepts, model classes and inference tools within the INLA framework. Important elements to construct space-time models are certain spatial Matérn-like Gauss-Markov random fields, obtained as approximate solutions to a stochastic partial differential equation. Efficient implementation of statistical inference tools for a large variety of models is available through the INLA package of the R software. To showcase the practical use of R-INLA and to illustrate its principal commands and syntax, a comprehensive simulation experiment is presented using simulated non Gaussian space-time count data with a first-order autoregressive dependence structure in time.

研究の動機と目的

• 複雑な空間的および時空間的データを扱う研究者を対象に、潜在ガウスモデルとINLA推論フレームワークについて包括的なレビューを提供すること。
• 高次元モデルにおいて、計算速度と数値的安定性の面で、従来のMCMC手法に比べてINLAがもたらす利点を強調すること。
• R-INLAソフトウェアパッケージを用いた、時空間モデルにおけるINLAの実用的実装を示すこと。
• SPDEアプローチを用いて、時空間応用における柔軟で計算的に効率的なガウス・マルコフ確率的フィールドを構築する方法を説明すること。
• 情報基準（DIC、WAIC）と事後要約統計量を用いて、非ガウス型時空間カウントデータのシミュレーション結果に基づき、モデルの性能を評価すること。

提案手法

• 統合ネストラス近似（INLA）を用いて、MCMCの収束が遅いのを避けるために、事後分布の周辺分布に対する高速で解析的な近似を提供する。
• 空間的および時空間的依存構造を効率的にモデル化するため、確率的偏微分方程式（SPDE）から導かれるガウス・マルコフ確率的フィールドを採用する。
• SPDEアプローチを用いて、スパースな精度行列をもたらす近似解を生成し、高次元計算を扱いやすくする。
• R-INLAパッケージにおいて、尤度の指定、潜在ガウスモデル、ハイパーパriorsの3つの主要コンponentを用いてモデルを実装する。
• 精度行列 Q* を根拠とするガウス・コプシラに基づく、inla.posterior.sample() 関数を用いて、事後依存構造を近似する。
• DIC、WAIC、および周辺尤度といったモデル比較指標を用いて、競合するモデルを評価および順位付けする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な時空間モデルにおいて、INLAはMCMCに比べて精度と計算効率の点でどの程度優れているか？
• RQ2 SPDEアプローチは、潜在ガウスモデルにおける非分離的時空間依存をどの程度正確に表現できるか？
• RQ3 INLA近似は、時空間設定における非ガウス型尤度（例：負の二項分布）に対してどの程度良好に機能するか？
• RQ4 ハイパーパriorsの選択（例：SPDEにおける ν = 0）が、モデル推定およびパラメータ回復に与える影響は何か？
• RQ5 R-INLAを用いて、異なる尤度関数と依存構造を持つ多様な時空間モデルを効果的に適合および比較するにはどうすればよいか？

主な発見

• ガウス尤度を用いたモデル1は、DIC = 8540、WAIC = 8520 を達成し、事後平均範囲 = 0.29（95%信頼区間：0.25–0.33）、分散 = 0.95（0.84–1.08）を示し、シミュレーション値とよく一致した。
• 負の二項尤度とSPDE事前分布における ν = 0 を用いたモデル5は、推定分散 = 0.11（0.09–0.14）と顕著なずれを示し、パラメータ推定における潜在的な不安定性を示唆した。
• 自己回帰係数 a は、推定されたモデルでは一貫して 0.49–0.53 の範囲にあり、95%信用区間が真の値 0.5 をカバーしていた。
• 異なる空間構造をもつガウス尤度を用いたモデル4は、DIC = 8550、WAIC = 8510 を達成し、モデル1と同等の性能を示した。
• 負の二項尤度を用い、空間効果なしのモデル3は、DIC（9530）とWAIC（9270）が最高であり、空間構造を有するモデルと比較して適合が著しく悪いことが示された。
• 周辺尤度（mlik）は、モデル1、4、5、6において一貫して約 -4750 であり、構造が異なるにもかかわらず同等のモデル証拠を示している。