[論文レビュー] Latent Modes of Nonlinear Flows -- a Koopman Theory Analysis

I. Bernard Cohen, Guy Gilboa|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形流れの解析のための、Koopman理論に基づくフレームワークを提案する。非線形流れの潜在的構造をKoopman固有関数（KEFs）を用いて同定することで、グローバルな線形化、次元削減、およびシステム再構築を可能にする。本稿では、過剰な辞書を用いたスパarsity駆動型モード分解を新たに提案し、従来の動的モード分解（DMD）が複雑なダイナミクスを捉えることのできない限界を克服する。

ABSTRACT

Extracting the latent underlying structures of complex nonlinear local and nonlocal flows is essential for their analysis and modeling. In this work, we attempt to provide a consistent framework through Koopman theory and its related popular discrete approximation -- dynamic mode decomposition (DMD). We investigate the conditions to perform appropriate linearization, dimensionality reduction, and representation of flows in a highly general setting. The essential elements of this framework are Koopman Eigenfunction (KEF), for which existence conditions are formulated. This is done by viewing the dynamic as a curve in state-space. These conditions lay the foundations for system reconstruction, global controllability, and observability for nonlinear dynamics. We examine the limitations of DMD through the analysis of Koopman theory and propose a new mode decomposition technique based on the typical time profile of the dynamics. An overcomplete dictionary of decay profiles is used to sparsely approximate the flow. This analysis is also valid in the full continuous setting of Koopman theory, which is based on variational calculus. We demonstrate applications of this analysis, such as finding KEFs and their multiplicities, dynamics reconstruction, and global linearization.

研究の動機と目的

• Koopman理論と動的モード分解（DMD）を用いた、複雑な非線形流れを一貫して分析するフレームワークの構築を目的とする。
• 一般の非線形設定におけるKoopman固有関数（KEFs）の存在条件を定式化することを目的とする。
• 従来のDMDが非線形ダイナミクスを表現する際の限界を克服するため、新しいモード分解技術を提案することを目的とする。
• KEFsを用いて非線形システムのグローバルな再構築、可制御性、可観測性を可能にすることを目的とする。
• 変分法と過剰な減衰プロファイルの辞書を用いて、連続的設定への分析を拡張することを目的とする。

提案手法

• 状態空間上での動的を曲線としてモデル化し、Koopman作用素の性質を分析し、KEFsの存在条件を導出する。
• 典型的な時間プロファイル（例：指数的減衰）の過剰な辞書を用いて、流れのダイナミクスをスパースに近似する。
• スパース近似技術を適用して、最小の表現誤差を実現するように、主要なモードを同定する。
• 離散的（DMDに類似）および連続的（変分法に基づく）な設定の両方で分解を定式化する。
• 変分法を統合して、連続時間におけるKoopman理論へのフレームワークの拡張を図る。
• 同定されたKEFsとその重複度を組み合わせることで、ダイナミクスを再構築し、グローバルな線形化を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非線形流れにおいて、Koopman固有関数（KEFs）が存在する条件は何か？
• RQ2 DMDは、標準的な仮定を超えて複雑な非線形ダイナミクスを表現するために、どのように体系的に改善できるか？
• RQ3 減衰プロファイルの辞書が、非線形流れのダイナミクスのスパースかつ高精度な表現を可能にする役割は何か？
• RQ4 変分法を用いて、連続的Koopman理論フレームワークをどのように拡張し、完全なダイナミクス解析を可能にするか？
• RQ5 同定されたKEFsとその重複度は、グローバルなシステム再構築と線形化を可能にするか？

主な発見

• 本稿では、状態空間上の曲線表現を用いて、非線形流れにおけるKoopman固有関数（KEFs）の存在に対する十分条件を確立した。
• 過剰な減衰プロファイルの辞書を用いたスパarsityに基づく分解は、標準DMDを上回り、非指数的かつ非周期的ダイナミクスを捉えることができる。
• KEFsとその重複度が成功裏に同定され、非線形ダイナミクスの高精度な再構築が可能となった。
• KEFsを用いて非線形システムを高次元の線形空間に埋め込むことで、グローバルな線形化が実現された。
• 変分法を用いた連続的Koopman理論の拡張により、離散的近似を超えた厳密な流れのダイナミクス解析が可能になった。
• 本手法は、勾配および均一作用素に基づくダイナミクスを含む複雑な流れの再構築において、優れた耐障害性を示し、可観測性および可制御性の特徴付けが向上した。