[論文レビュー] Lattice and PT symmetries in tensor-network renormalization group: a case study of a hard-square lattice gas model

Xinliang Lyu|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2026

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ひとこと要約

この論文は、格子対称性（回転・反射）とPT対称性を2Dで明示的に組み込んだテンソルネットワーク再正規化群（TNRG）スキームを開発し、1NN硬平方格子気体を用いて2つの連続相転移と対称性 breaking を研究する。

ABSTRACT

The tensor-network renormalization group (TNRG) is an accurate numerical real-space renormalization group method for studying phase transitions in both quantum and classical systems. Continuous phase transitions, as an important class of phase transitions, are usually accompanied by spontaneous breaking of various symmetries. However, the understanding of symmetries in the TNRG is well-established mainly for global on-site symmetries like U(1) and SU(2). In this paper, we demonstrate how to incorporate lattice symmetries (including reflection and rotation) and the PT symmetry in the TNRG in two dimensions (2D) through a case study of the hard-square lattice gas with nearest-neighbor exclusion. This model is chosen because it is well-understood and has two continuous phase transitions whose spontaneously-broken symmetries are lattice and PT symmetries. Specifically, we write down proper definitions of these symmetries in a coarse-grained tensor network and propose a TNRG scheme that incorporates these symmetries. We demonstrate the validity of the proposed method by estimating the critical parameters and the scaling dimensions of the two phase transitions of the model. The technical development in this paper has made the 2D TNRG a more well-rounded numerical method.

研究の動機と目的

• TNRGにおけるグローバルなオンサイト対称性を超えた格子対称性とPT対称性の含意を動機づける。
• 格子反転・格子回転・PT対称性を保持する粗視化テンソルネットワーク枠組みを開発する。
• EF強化TNRGを用いて自己一致対称性 breaking 固定点近傍でのRGフローの安定性を向上させる。
• 1NN硬平方モデルの2つの相転移に対する臨界パラメータとスケーリング次元を推定する。

提案手法

• zの符号を符号化する非自明な結合行列を用いた1NN硬平方分配関数のテンソルネットワーク表現を構築する。
• 粗視化されたテンソルネットワークにおける格子反転、格子回転、PT対称性を定義する（A、B、σ分解）。
• SVDベースの分割中にこれらの対称性を維持・課すEF強化TRG/ループTNRスキームを提案する。
• 実値テンソルを厳密に保持するためσ0をAに吸収し、TRGの下でPT対称性を厳密に保持する。
• 対称性を意識した粗視化写像をループ最適化で実装し、固定点から臨界データを抽出する。
• 対称性 breaking 近傍でTRGとHOTRGを比較し、対称性意識型TNRGの安定性利点を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2DのTNRGフレームワークにおいて格子対称性（回転・反射）をどのように定義し、保持するか？
• RQ2 負の活量をもつモデルの実数値テンソルネットワーク表現においてPT対称性はどのように現れ、RGフローにどのように影響するか？
• RQ3 EF強化ループTNRが格子対称性とPT対称性を保持して固定点を安定化し、臨界パラメータ推定を改善できるか？
• RQ4 1NN硬平方格子気体の2つの相転移の臨界パラメータとスケーリング次元は何で、それらが格子対称性 breakingのIsing universalityとPT対称性/反発核のYang–Lee edge universalityをどのように反映するか？

主な発見

• 格子対称性とPT対称性をTNRGに組み込むことで、対称性崩壊固定点付近のRGフローの安定性が向上する。
• 実数値テンソルネットワーク（σ0をAへ吸収）によりPT対称性を厳格に保持し、TRG下でPT対称性（負のz）の転移固定点を安定化させる。
• 正のz転移は格子対称性の自発的破れを示し、負のz転移はPT対称性破れ（Yang–Lee edgeの文脈）に対応する。
• ループ最適化を伴うEFは臨界固定点付近での精度と切り捨て制御を高め、両転移の臨界パラメータとスケーリング次元の信頼できる推定を可能にする。
• 1NN硬平方モデルの2つの転移は既知の普遍性類に属する（格子対称性破れ転移はIsing、PT対称性/反発核転移はYang–Lee edge）。