[論文レビュー] Lattice construction of logarithmic modules for certain vertex algebras

Dražen Adamović, Antun Milas|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対数的ゼロモード作用を用いた頂点演算子の変形を通じて、頂点代数の対数的モジュール、特に三重項代数 $W(p)$ 及びその拡張の、新しい格子に基づく構成を提示する。主な貢献は、$W(p)$ 及び適切なレベルにおけるアフィン頂点代数の対数的表現の明示的実現、および対数的インターウイング演算子の構成であり、$W(p)$-モジュールと $q = e^{\tau i/p}$ における制限付き量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の表現の間の予想される同型性に強い証拠を提供する。

ABSTRACT

A general method for constructing logarithmic modules in vertex operator algebra theory is presented. By utilizing this approach, we give explicit vertex operator construction of certain indecomposable and logarithmic modules for the triplet vertex algebra W(p) and for other subalgebras of lattice vertex algebras and their N=1 super extensions. We analyze in detail indecomposable modules obtained in this way, giving further evidence for the conjectural equivalence between the category of W(p)-modules and the category of modules for the restricted quantum group $\bar{\mathcal{U}}_q(sl_2)$ at root of unity. We also construct logarithmic representations for a certain affine vertex operator algebra at admissible level realized in \cite{A-2005}. In this way we prove the existence of the logarithmic representations predicted in \cite{G}. Our approach enlightens related logarithmic intertwining operators among indecomposable modules, which we also construct in the paper.

研究の動機と目的

• 頂点演算子代数理論における対数的モジュールを構成する一般的手法の開発、特に $C_2$-cofinite で非有理な頂点代数、たとえば三重項代数 $\nW(p)$ の対象として。
• 三重項代数 $\nW(p)$ 及びその $N=1$ スーパーエクステンションに対する、非可約かつ対数的モジュールの明示的頂点演算子による構成を提供し、長年の未解決問題である対数的 conformal field theory の分野における課題に取り組む。
• $\nW(p)$ の表現カテゴリと、$q = e^{\tau i/p}$ における制限付き量子群 $\nU_q(\nsl_2)$ の表現カテゴリとの間の関係を確立し、それらの予想される同型性に新たな証拠を提供する。
• 適切なレベルにおけるアフィン頂点代数の対数的表現を構成し、先行研究の予測を確認する。
• 対数的ゼロモード依存の指数関数を含む新しい対数的頂点演算子形式を用いて、非可約モジュール間の対数的インターウイング演算子を定義・構成する。

提案手法

• スクリーニング作用素を用いて、核として頂点代数を定義し、$\nW(p,p')$ 及び $\nW(p)$ 代数を格子頂点代数およびヘイゼンベルグ代数の拡張として構成する。
• 新しい対数的頂点演算子 $\nD_{\nlog}(v,x) = \nexp(\nlog(x)v_0 + \nsum_{n=1}^\infty \frac{v_n}{-n}(-x)^{-n})$ を導入し、$\nlog(x)$ を介して対数的項を組み込むことで、対数的モジュールの構成を可能にする。
• $\nD_{\nlog}(v,x)$ を通常のインターウイング演算子 $\nY(u,x)$ に作用させることで、新しい対数的インターウイング演算子 $\nY_{\nlog}(u,x) = \nY(\nD_{\nlog}(v,x)u,x)$ を定義し、$L(-1)$-微分作用およびヤコビ恒等式を保つ。
• 格子頂点代数モジュールにおけるゼロモード作用の変形を通じて対数的モジュールを構成し、$v_0$ が冪零的であるようにすることで、非半単純な $L(0)$-作用を可能にする。
• $L(-\frac{4}{3}\nL_0)$ のための対数的モジュール $\nR_{-1/3}$ を自由場実現を用いて実現し、[23] で予測された存在を確認する。
• $\nW(p)$-モジュールの非可約性を、量子群 $\nU_q(\nsl_2)$ の観点から分析し、格子構成が期待される表現論的構造を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子頂点代数が直接的に対数的モジュールを許容しないにもかかわらず、格子頂点代数とスクリーニング作用素を用いて、三重項頂点代数 $\nW(p)$ の対数的モジュールを明示的に構成できるか？
• RQ2 $\nW(p)$ の表現カテゴリが $q = e^{\tau i/p}$ における制限付き量子群 $\nU_q(\nsl_2)$ の表現カテゴリと同型であるかどうか、そして明示的モジュール構成によってそれが示せるか？
• RQ3 非半単純モジュールの文脈において、標準的頂点演算子形式が失敗する場合に、対数的インターウイング演算子をどのように定義・構成できるか？
• RQ4 以前は予想のみであった、適切なレベルにおけるアフィン頂点代数の対数的表現を、自由場実現を用いて明示的に実現できるか？
• RQ5 スクリーニング作用素およびその核は、対数的表現を支持する $\nW$-代数を生成する役割を果たすが、標準的量子還元とはどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、格子頂点代数とスクリーニング作用素を用いて、$p \neq 2$ のすべての $p$ に対して三重項頂点代数 $\nW(p)$ の明示的対数的モジュールを構成し、既知の $p=2$ の場合を拡張する。
• アフィン頂点代数 $L(-\frac{4}{3}\nL_0)$ の対数的モジュール $\nR_{-1/3}$ の新しい自由場実現を提供し、[23] 及び [24] で予測された存在を確認する。
• 対数的頂点演算子 $\nD_{\nlog}(v,x)$ を用いて、型 $\n{\nwidetilde{M}_3 \nover \nV \n\tilde{M}_2}$ の対数的インターウイング演算子を構成し、標準的頂点演算子表現における曖昧性を解消する。
• この手法により、$L(-\frac{4}{3}\nL_0)$ の対数的表現が $\nZ_{\n\to 0}$-次数を持たないことが明らかになり、Zhu代数理論では検出できないことが示され、新たな道具の必要性を強調する。
• $N=1$ スーパーエクステンション $\nSW(p,p')$ をネヴェウ＝シュヴァルツ代数および格子頂点スーパーアルゲブラの拡張として構成することで、豊富な表現理論を持つ新しい対数的 VOAs の族を提供する。
• 同じ非可約モジュール構造が両方の構成から生じることを示すことにより、$\nW(p)$-モジュールのカテゴリと $\nU_q(\nsl_2)$-モジュールのカテゴリとの間の予想される同型性に強い証拠を提供する。