[論文レビュー] Lattice energy-momentum tensor from the Yang-Mills gradient flow -- a simpler prescription

Hiroki Makino, Hiroshi Suzuki|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Superconducting Materials and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヤン・ミルズの勾配フローを用いて、フェルミオンを含むヤン・ミルズゲージ理論における正しく正規化され保存則を満たす格子エネルギー運動量テンソルを構成する簡素化された規定を提案する。フェルミオン場をスカラー凝集体ではなく、運動項の真空期待値による再定義することにより、フェルミオン質量がゼロのときの特異性を回避し、質量ゼロのフェルミオン理論（例えば、赤外固定点を有する多フラバーQCD）への直接適用を可能にする。

ABSTRACT

In a recent paper [arXiv:1403.4772], we gave a prescription how to construct a correctly-normalized conserved energy--momentum tensor in lattice gauge theory containing fermions, on the basis of the Yang--Mills gradient flow. In the present note, we give an almost identical but somewhat superior prescription with which one can simply set the fermion mass parameter in our formulation zero for the massless fermion. This feature will be useful in applying our formulation to theories in which the masslessness of the fermion is crucial, such as multi-flavor gauge theories with an infrared fixed point.

研究の動機と目的

• フェルミオン質量パラメータをゼロに安全に設定できない既存の定式化の問題を解決すること。これは、質量依存の特異な正規化因子に起因する。
• 質量ゼロのフェルミオン極限においても、定義が明確で有限である格子エネルギー運動量テンソルの構築を目的とする。
• フェルミオン質量が物理的に不可欠な理論（例：赤外固定点ゲージ理論）に対して、勾配フロー法を信頼性高く適用可能にする。
• 得られるエネルギー運動量テンソルが保存則を満たし、正しく正規化され、さまざまな格子作用に対して普遍的に適用可能であることを保証すること。
• MSスキームにおける、連続極限で有効な、明示的かつ摂動的に計算可能なテンソル成分の係数を提供すること。

提案手法

• スカラー凝集体 $ \langle \bar{\chi} \chi \rangle $ の代わりに、運動項の真空期待値 $ \langle \bar{\chi} \ooalign{\hfil/\hfil\crcr$D$}} \chi \rangle $ による正規化を施した「リング状」フェルミオン場を導入し、質量依存の特異性を回避する。
• ヤン・ミルズ勾配フローを用いて、リング状場からUV有限な複合演算子を構成する。これにより、乗法的正規化を必要とせず有限性が保証される。
• エネルギー運動量テンソルを、流れさせたゲージおよびフェルミオン演算子の線形結合として定義し、係数 $ c_i(t) $ は連続極限におけるネーター運動量の一致から決定する。
• 走るカップリングおよびスケール $ 1/\sqrt{8t} $ における走る質量を用いて、係数 $ c_i(t) $ をランゲージ群の式で表現し、$ t \to 0 $ 極限における摂動的計算を可能にする。
• MSスキームにおいて、$ c_1(t) $ から $ c_5(t) $ までの明示的表現を、質量ゼロおよび質量ありの両方のフェルミオンに対して導出する。$ c_5(t) \to 0 $ は質量ゼロ極限で成立する。
• 古典的連続極限におけるフロー方程式が Lüscher (2010, 2011, 2013) のものと一致するように要請することで、普遍性を保証する。これにより、係数は格子作用や演算子の記述方法に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン質量がゼロの極限においても、定義が明確な格子エネルギー運動量テンソルを構築できるか？
• RQ2 スカラー凝集体の正規化を運動項の正規化に置き換えることで、質量ゼロ極限における特異性が解消されるか？
• RQ3 得られるテンソルは、さまざまな格子作用および離散化法に普遍的に適用可能か？
• RQ4 エネルギー運動量テンソルの係数は摂動的に計算可能であり、連続極限において正規化スケールに依存しないか？
• RQ5 新しい規定は、連続極限において保存則および正しい正規化を維持するか？

主な発見

• 運動項期待値による正規化を施したリング状フェルミオン場により、スカラー凝集体に基づく従来の定式化に見られた質量依存特異性が解消される。
• エネルギー運動量テンソルは、単に $ c_5(t) = 0 $ とすることで、質量ゼロのフェルミオンに対して一貫して定義可能であり、これは $ \tilde{\mathcal{O}}_{5\mu\nu} $ 演算子を無視することに対応する。
• 係数 $ c_1(t) $ から $ c_5(t) $ までは、$ t \to 0 $ 極限における摂動論的計算により明示的に計算され、$ c_1(t) \sim 1/\bar{g}^2(1/\sqrt{8t}) $ および $ \ln \pi $ からの対数補正が含まれる。
• 係数は普遍的である：ゲージ群およびフェルミオン表現にのみ依存し、格子作用や演算子の記述方法には依存しない。ただし、古典的フロー方程式が一致する限り有効。
• テンソルの $ t \to 0 $ 極限は、連続極限において保存則を満たし、正しく正規化されたエネルギー運動量テンソルを与える。質量ゼロのフェルミオンでは $ c_5(t) \to 0 $ となる。
• この方法により、フェルミオン質量が根本的に不可欠な臨界ゲージ理論（例：赤外固定点を有する理論）への信頼性ある応用が可能になる。