[論文レビュー] Lattice Index Theorem and Fractional Topological Charge

Roman Höllwieser, M. Faber+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、重力的球面中心ビロスに、重複およびasqtadステアガードフェルミオンを用いて、格子インデックス定理の破れを検証する。トポロジカルな電荷とディラック作用素のインデックスの間の不一致は、$S^3$ から $SU(2)$ への写像としての球面の巻き数と数値的に一致し、冷却中に分数トポロジカル電荷 $Q = 1/2$ の証拠が得られ、これは無限遠で減衰するゲージ場を持つディラックモノポールとして特定され、周期的境界条件下でも反モノポールを必要としない。

ABSTRACT

We study topological properties of classical spherical center vortices with the low-lying eigenmodes of the Dirac operator in the fundamental and adjoint representations using both the overlap and asqtad staggered fermion formulations. In particular we address the puzzle raised in a previous work of our group [Phys.\ Rev.\ D 77, 14515 (2008)], where we found a violation of the lattice index theorem with the overlap Dirac operator in the fundamental representation even for "admissible" gauge fields. Here we confirm the discrepancy between the topological charge and the index of the Dirac operator also for asqtad staggered fermions and the adjoint representation. Numerically, the discrepancy equals the sum of the winding numbers of the spheres when they are regarded as maps $\mathbbm R^3 \cup \{\infty\} o SU(2)$. Furthermore we find some evidence for fractional topological charge during cooling the spherical center vortex on a $40^3 imes 2$ lattice. The object with topological charge $Q=1/2$ we identify as a Dirac monopole with a gauge field fading away at large distances. Therefore even for periodic boundary conditions it does not need an antimonopole.

研究の動機と目的

• 重複ディラック形式における滑らかで「許容可能な」ゲージ場に対して、以前に観測された格子インデックス定理の破れを解消すること。
• 改善されたステアガードフェルミオンを用いた場合や、随伴表現においてもその不一致が継続するかを調査すること。
• 有限格子上での球面ビロスの冷却過程における分数トポロジカル電荷の起源を探索すること。
• 周期的境界条件下でも反モノポールを必要としないで、このような分数電荷配置が存在可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 時間的リンクに、0から $\pi$ にわたる滑らかな位相プロファイル $\alpha_\pm(r)$ を持つ、厚さのある球面中心ビロスをSU(2)格子ゲージ理論で構築する。
• 格子 $F\tilde{F}$ 密度を用いてトポロジカル電荷を計算し、基本表現および随伴表現におけるディラック作用素のインデックスと比較する。
• 重複およびasqtadステアガードフェルミオン形式を用いてインデックスを計算し、ゼロモードの局在性を分析する。
• ゲージ配置に冷却を適用し、トポロジカル電荷の進化を研究し、一時的な分数電荷状態を検出する。
• ポリヤコフ輪、リンク、プラケット、およびモノポール配置を用いてゲージ場構造を分析し、ディラックモノポール行動を特定する。
• ビロス配置を連続写像 $S^3 \to SU(2)$ としてマッピングし、巻き数を計算し、インデックスの不一致と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複フェルミオンの代わりにasqtadステアガードフェルミオンを用いた場合、格子インデックス定理の破れが継続するか？
• RQ2 トポロジカル電荷とディラックインデックスの不一致が、$SU(2)$ への球面の写像としての巻き数に関連しているか？
• RQ3 球面ビロスの冷却中に分数トポロジカル電荷 $Q = 1/2$ が出現するか？その物理的解釈は何か？
• RQ4 分数電荷状態が、周期的境界条件下でも反モノポールを必要としないディラックモノポールに対応するか？
• RQ5 冷却過程におけるゲージ場配置の進化はどのように進行するか？また、ポリヤコフ輪とプラケット構造はモノポール的行動を特定するためにどのような役割を果たすか？

主な発見

• トポロジカル電荷とディラック作用素のインデックスの不一致は、$SU(2)$ への球面の写像における巻き数と数値的に一致し、異常なトポロジカル起源を確認する。
• asqtadステアガードフェルミオンを用いた基本表現でも、同じインデックス定理の破れが観測され、フェルミオン形式に依存しない堅牢性を示す。
• サイズ $40^3 \times 2$ の格子上での球面ビロスの冷却過程において、随伴表現のインデックスが一時的なトポロジカル電荷 $Q \approx 1/2$ を示した。
• この $Q = 1/2$ 状態は、中心に特異点を持つディラックモノポールとして特定され、無限遠で減衰するゲージ場と一致し、非アーベルモノポール構造を反映している。
• 非自明な $SU(2)$ ゲージ場のトポロジーより、周期的境界条件下でも反モノポールを必要としない。
• ポリヤコフ輪のプロファイルとリンク／プラケットのベクトル配置は、ハリケーン型構造とモノポール的行動の存在を確認し、冷却ステップ130で明確な遷移が観測された。