[論文レビュー] Lattice Loop Quantum Gravity

Johannes Aastrup, Jesper Møller Grimstrup|ArXiv.org|Nov 20, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、無限にネストされた立方格子系を用いた帰納的構成により、分離可能で格子に基づくループ量子重力（LQG）の定式化を提案する。半古典的状態において、フラックス、面積、体積、ハミルトニアン演算子が正しい古典的極限を持つことを示し、連続極限において空間的対称性—特に微分同相不変性—が回復される可能性を示唆しており、背景依存のない量子重力理論への道筋を提供する。

ABSTRACT

We present a separable version of Loop Quantum Gravity (LQG) based on an inductive system of cubic lattices. We construct semi-classical states for which the LQG operators -- the flux, the area and the volume operators -- have the right classical limits. Also, we present the Hamilton and diffeomorphism constraints as operator constraints and show that they have the right classical limit. Finally, we speculate whether the continuum limit, which these semi-classical states probe, can be defined for the entire construction and thereby restore an action of the diffeomorphism group.

研究の動機と目的

• 無限にネストされた立方格子系を用いた帰納的構成により、分離可能なループ量子重力（LQG）の定式化を構築すること。
• フラックス、面積、体積、ハミルトニアンなどのLQG演算子の古典的極限を再現する正規化可能な半古典的状態を構築すること。
• 格子系の連続極限が微分同相不変性と背景独立性を回復できるかどうかを調査すること。
• 格子ゲージ理論と類似した方法で、連続極限において空間的対称性が出現する可能性を検討すること。
• 有限格子依存性が消える枠組みを提供し、LQG代数およびヒルベルト空間の完全な連続的構成が可能になる可能性を示すこと。

提案手法

• 無限にネストされた3次元立方格子系の系列における帰納的極限として、運動論的ヒルベルト空間を構築する。
• ヒルベルト空間上に、格子に基づく接続と余接空間変数を用いて、ホロノミーおよびフラックス演算子を表現する。
• 半古典的状態を、格子の深さに依存し、連続極限で連続的になる波動関数を持つ局在状態として定義する。
• ハミルトニアンおよび微分同相不変制約を、古典的制約の格子離散化を用いてヒルベルト空間上の演算子的制約として実装する。
• 二重極限を用いる：まず固定された格子深さnにおいて古典的極限（t → 0）をとる。その後、連続極限（n → ∞）をとることで古典的表現を回復する。
• スペクトル三重体とネストされた格子の構造を活用し、演算子が極限において古典的対応物に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子に基づくLQGモデルは、フラックス、面積、体積演算子が正しい古典的極限を持つ半古典的状態を生成できるか？
• RQ2 この格子モデルにおけるハミルトニアン演算子は、連続極限および古典的極限において、古典的ハミルトニアン制約に収束するか？
• RQ3 有限格子モデルでは存在しないが、格子構成の連続極限において、微分同相群作用が回復可能か？
• RQ4 特定の状態に限らず、ヒルベルト空間全体および演算子代数全体に対する連続極限を定義可能か？
• RQ5 連続極限において背景計量が存在しない場合、特にローレンツ型の場合に、その構成にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 格子LQGモデルにおけるフラックス、面積、体積演算子は、格子深さが大きく、古典的パラメータが小さい二重極限において、それぞれ古典的対応物に収束する。
• 格子上に構築されたハミルトニアン演算子は、三重計量および接続場の正しい依存関係を保ちつつ、極限において古典的ハミルトニアン制約を再現する。
• 正規化可能で、正しい古典的振る舞いを示す半古典的状態が存在し、半古典的領域への道筋が有効である可能性を示唆する。
• 連続極限は格子依存性を除去するように見えることから、微分同相不変性などの空間的対称性が極限で出現する可能性がある。
• 連続極限による背景独立性の回復メカニズムが示唆されており、格子ゲージ理論と類似している。
• 接続の複素化と二重ヒルベルト空間の使用により、ローレンツ型の場合もアクセス可能であり、連続極限で構造が保存される可能性がある。