[論文レビュー] Lattice Models for Phases and Transitions with Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Lea E. Bottini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2024

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 19

ひとこと要約

本論文は、SymTFTデータに基づき、非可逆（融合カテゴリ）対称性によって保護されたIR相と遷移を実現するUV anyon-chain格子モデルを構築し、無対称領と対称的に扭曲されたセクターを含む、ギャップのある/ない相や秩序パラメータを分析する。

ABSTRACT

Non-invertible categorical symmetries have emerged as a powerful tool to uncover new beyond-Landau phases of matter, both gapped and gapless, along with second order phase transitions between them. The general theory of such phases in (1+1)d has been studied using the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT), also known as topological holography. This has unearthed the infrared (IR) structure of these phases and transitions. In this paper, we describe how the SymTFT information can be converted into an ultraviolet (UV) anyonic chain lattice model realizing, in the IR limit, these phases and transitions. In many cases, the Hilbert space of the anyonic chain is tensor product decomposable and the model can be realized as a quantum spin-chain Hamiltonian. We also describe operators acting on the lattice models that are charged under non-invertible symmetries and act as order parameters for the phases and transitions. In order to fully describe the action of non-invertible symmetries, it is crucial to understand the symmetry twisted sectors of the lattice models, which we describe in detail. Throughout the paper, we illustrate the general concepts using the symmetry category $\mathsf{Rep}(S_3)$ formed by representations of the permutation group $S_3$, but our procedure can be applied to any fusion category symmetry.

研究の動機と目的

• 融合カテゴリ（非可逆）対称性を持つ格子モデルに対して、対称性に基づく相の分類を拡張する。
• SymTFTデータを、IRでギャップのある相とギャップレス相を実現するUV anyon-chainハミルトニアンへ翻訳する。
• 格子上の対称作用、ねじれセクター（扭曲セクター）、一般化電荷を特徴づけ、相と遷移を診断する。
• Rep(S3)とアーベル群様の対称性を用いた具体例を提示して、構築を解説する。

提案手法

• 対称性S = C∗Mとし、入力データ(C, M, ρ, h)からUV anyon-chainモデルを定義する。
• 円周上で無扭曲・扭曲セクターのヒルベルト空間を構築し、局所的なムーブ (2.4) から Hamiltonian H = −∑ hi を組み立てる。
• 格子実現を3次元TQFT Z(C)の境界として説明し、SymTFT枠組みを通じてHと可換に作用するS作用を実装する。
• 対称電荷がDrinfeld中心Z(S)に生き、局所演算子が無扭曲・扭曲セクター間でどう写像するかを説明する（2.14–2.18）。
• モジュールカテゴリーMとM′間のゲージ化は新しいS′対称モデルを生み出し、境界条件の変更（2.9）で実現される。
• アーベル群対称性（VecG）とRep(S3)を具体例として用い、セクター構造と作用素組成を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SymTFTデータをどのようにUV anyon-chain格子モデルへ変換して非可逆対称性を実現するか。
• RQ2 格子上で無扭曲セクターと対称扭曲セクターはどのように実現され、一般化電荷はそれらの内部でどのように作用するか。
• RQ3 S対称格子モデルにどのようなギャップ相・ギャップレス相が現れ、格子の秩序パラメータによってそれらを診断できるか。
• RQ4 対称性をゲージ化すると格子モデルとその相図はどのように変化するか。
• RQ5 Rep(S3)およびアーベル場合において、S荷電の多重体を実現する具体的演算子構成と扭曲セクターへの作用をどう構築するか。

主な発見

• SymTFTデータから1+1次元のanyon-chain格子モデルを体系的に構築し、S対称のギャップ相およびギャップレス相を実現する。
• ギャップ相はSymTFTのトポロジカル境界条件に対応し、Cの適切なFrobenius代数を選択することでギャップ境界が得られる。
• 格子モデル上の対称作用には無扭曲セクターと対称扭曲セクターが含まれ、扭曲セクターのヒルベルト空間は単純なSオブジェクトでラベル付けされ、S作用によって相互に接続される。
• 非可逆対称性Sの一般化電荷はSymTFT内のトポロジカルラインによって符号化され、S荷電格子演算子として実現され、融合・braidingデータを含む。
• 扭曲・無扭曲の局所演算子はDrinfeld中心Z(S)でラベル付けされたマルチプルを形成し、格子状態上のS対称性を実現し、秩序パラメータの構築を可能にする。
• ゲージ化によってM′へ変更すると新しいS′対称格子モデルが生まれ、異なる境界条件の下で位相構造がどのように再編成されるかを示す。