[論文レビュー] Lattice Path Matroid Polytopes

Hoda Bidkhori|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2つの格子路の間で境界づけられたパスを表現する格子路マトロイドにおける基底の指示ベクトルの凸包として得られる多面体、すなわち格子路マトロイド多面体の研究を行う。整数配列と標準ヤング盤を用いて、これらの多面体のエーリヒト多項式および体積の公式を確立し、体積がパスの境界に付随する特定の形状の標準ヤング盤の数に等しいことを明らかにする。

ABSTRACT

Fix two lattice paths $P$ and $Q$ from $(0,0)$ to $(m,r)$ that use East and North steps with $P $ never going above $Q$. Bonin et al. show that the lattice paths that go from $(0,0)$ to $(m,r)$ and remain bounded by $P$ and $Q$ can be identified with the bases of a particular type of transversal matroid, which we call it a lattice path matroid. In this paper, we consider properties of lattice path matroid polytopes. These are the polytopes associated to the lattice path matroids. We investigate their face structure, decomposition, triangulation, Ehrhart polynomial and volume.

研究の動機と目的

• 境界付き格子路から生じる特殊なマトロイド多面体の組合せ的および幾何的性質を研究すること。
• これらの多面体の面構造、分解、および三角形分割を特定すること。
• 組合せ的不変量を用いて、格子路マトロイド多面体のEhrhart多項式および体積を計算すること。
• 多面体の体積と特定形状の標準ヤング盤の数との間の関係を確立すること。
• 特定の不等式を満たす配列を用いて、多面体の倍加における整数点の数の公式を提示すること。

提案手法

• 格子点 $(0,0)$ から $(m,r)$ への2つの格子路 $P$ と $Q$ を用いて格子路マトロイドを定義し、$P$ が $Q$ より上に来ないものとする。このとき、境界領域内に留まるパスを基底とみなす。
• これらの基底の指示ベクトルの凸包としてマトロイド多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ を定義する。
• パスの境界制約を満たす整数配列 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ の集合 $\Gamma(P,Q)$ を導入する。ここで $\alpha_i \geq 1$, $\sum \alpha_i = m+r$, および累積和に関する制約が成り立つ。
• 変数変換 $c_i = x_1 + \cdots + x_i$ を用い、多面体を不等式 $p_i \leq c_i \leq q_i$ で定義される領域に変換する。
• $t\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 内の整数点と、$t$-スケールされた区間で制約を受ける非減少 $c_i$ 値の列の間の双対性を確立する。
• Ehrhart多項式を、$\alpha \in \Gamma(P,Q)$ および $s \in S_r(t)$ の和として導出する。各ブロックにおける有効な列の数を二項係数で数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子路マトロイド多面体の面構造は何か？ また、それらはどのようにより小さな成分に分解されるか？
• RQ2 境界パスの組合せ的データを用いて、格子路マトロイド多面体のEhrhart多項式をどのように計算できるか？
• RQ3 格子路マトロイド多面体の体積は何か？ また、標準ヤング盤の数とはどのように関係しているか？
• RQ4 多面体の倍加における整数点は、どのように組合せ的配列および列に対応するか？
• RQ5 これらの多面体の三角形分割および分解は、パスに基づく不変量によって特徴づけられるか？

主な発見

• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ の $t$-倍加における整数点の数は、$|\Gamma(P,Q)|$ に等しく、これはパス境界制約を満たす有効な整数配列の数である。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ のEhrhart多項式は、$\alpha \in \Gamma(P,Q)$ および $s \in S_r(t)$ の和として与えられ、項には二項係数 $\binom{t+1-s_1}{\alpha_1}$, $\binom{t-s_{2i-1}-s_{2i-2}}{\alpha_i}$, および $\binom{t-s_{2r-2}}{\alpha_r}$ が含まれる。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ の体積は、$[P,Q]$ 内のすべてのパス $p$ に対して定義される形状 $S(p)$ の標準ヤング盤の数に等しい。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ は、超平面による分割によって連結成分に分解され、それぞれの成分は境界領域内のパス $p$ に対応する。
• 多面体の三角形分割はこの分解と整合的であり、各成分 $\mathcal{P}(S(p))$ の体積は、形状 $S(p)$ の標準ヤング盤の数に等しい。
• Ehrhart多項式は、境界パス $P$ と $Q$ の組合せ的構造によって完全に決定され、配列 $\Gamma(P,Q)$ および集合 $S_r(t)$ に符号化されている。