[論文レビュー] Lattice paths and branched continued fractions: An infinite sequence of generalizations of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials, with coefficientwise Hankel-total positivity

Mathias Pétréolle, Alan D. Sokal+1 more|UCL Discovery (University College London)|Jul 9, 2018

Mathematical functions and polynomials被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、整数 $ m \geq 1 $ で添え字付けられた、分岐連分数および高さに依存する重み付き格子路の数え上げを用いて定義される、一般化されたStieltjes–RogersおよびThron–Rogers多項式の無限族を導入する。主な貢献は、これらの多項式列がすべての係数に関してHankel全正定性を示すことを証明したことであり、古典的結果をFuss–Narayana多項式やEulerian多項式、および連続超幾何級数および基本超幾何級数の比に応用可能な広範な多変数枠組みへと拡張したことである。

ABSTRACT

We define an infinite sequence of generalizations, parametrized by an integer $m \ge 1$, of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials; they arise as the power-series expansions of some branched continued fractions, and as the generating polynomials for $m$-Dyck and $m$-Schröder paths with height-dependent weights. We prove that all of these sequences of polynomials are coefficientwise Hankel-totally positive, jointly in all the (infinitely many) indeterminates. We then apply this theory to prove the coefficientwise Hankel-total positivity for combinatorially interesting sequences of polynomials. Enumeration of unlabeled ordered trees and forests gives rise to multivariate Fuss--Narayana polynomials and Fuss--Narayana symmetric functions. Enumeration of increasing (labeled) ordered trees and forests gives rise to multivariate Eulerian polynomials and Eulerian symmetric functions, which include the univariate $m$th-order Eulerian polynomials as specializations. We also find branched continued fractions for ratios of contiguous hypergeometric series ${}_r \! F_s$ for arbitrary $r$ and $s$, which generalize Gauss' continued fraction for ratios of contiguous ${}_2 \! F_1$; and for $s=0$ we prove the coefficientwise Hankel-total positivity. Finally, we extend the branched continued fractions to ratios of contiguous basic hypergeometric series ${}_r \! ϕ_s$.

研究の動機と目的

• 整数 $ m \geq 1 $ で添え字付けられた、多変数の組合せ的構造を捉えることのできる、古典的Stieltjes–RogersおよびThron–Rogers多項式の無限族への一般化を達成する。
• これらの一般化された多項式に対して、すべての変数に関して係数に関するHankel全正定性を確立し、分岐連分数展開への古典的全正定性の拡張を実現する。
• 高さに依存する重み付きの $ m $-Dyckおよび $ m $-Schröder経路を用いて、Fuss–NarayanaおよびEulerian多項式などの組合せ的数列を統一的かつ一般化的に扱う。
• 連続超幾何級数 $ {}_rF_s $ の比に対して分岐連分数展開を導出し、それらの係数に関するHankel全正定性を証明する。
• 生成行列と格子路の組合せ論を用いて、多変数多項式列における全正定性の体系的枠組みを提供する。

提案手法

• $ m $-Stieltjes–Rogersおよび $ m $-Thron–Rogers多項式を、高さに依存する重み付きの $ m $-Dyckおよび $ m $-Schröder経路の生成関数として定義する。
• 多項式列の変数に対応する係数を持つ分岐連分数を構成し、古典的S-およびT-分数を一般化する。
• 生成行列を用いて多項式の再帰的構造を特徴づけ、経路の重みと組合せ的規則から得られる要素を用いる。
• 非交差格子路分解を用いて、Lindström–Gessel–Viennotの補題を適用し、全正定性を証明する。
• 行列の分解および連続関係を用いた代数的技法を用い、超幾何級数の比に対する分岐連分数展開を導出する。
• 係数に関するHankル行列のすべての小行列式が多項式環内で非負であることを示すことで、係数に関するHankル全正定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Stieltjes–RogersおよびThron–Rogers多項式は、$ m \geq 1 $ で添え字付けられた無限族に体系的に一般化可能であり、組合せ的および代数的構造を保ち続けるか？
• RQ2 これらの一般化された多項式は、すべての変数に関して係数に関するHankル全正定性を示すか？また、そのような性質が成り立つための重みに関する条件は何か？
• RQ3 連続超幾何級数 $ {}_rF_s $ の比に対して分岐連分数を構成可能であり、その展開が係数に関してHankル全正定性を示すか？
• RQ4 多変数Fuss–Narayana多項式およびEulerian多項式は、これらの一般化された多項式の特殊ケースとしてどのように現れるか？
• RQ5 $ m $-S分数を用いて、Apéry数やB型Narayana多項式のような数列を表現する際の制限は何か？

主な発見

• $ m $-Stieltjes–Rogersおよび $ m $-Thron–Rogers多項式は、すべての変数に関して係数に関するHankル全正定性を示す。これは生成行列とLindström–Gessel–Viennotの補題を用いて証明された。
• 多変数Fuss–Narayana多項式および対称関数は、周期的重み付きの $ m $-Dyck経路の生成関数として現れ、係数に関してHankル全正定性を示す。
• 多変数Eulerian多項式および対称関数（特に一変数の $ m $ 階Eulerian多項式を含む）は、ラベル付きの $ m $-Schröder経路を用いて、係数に関してHankル全正定性を示した。
• 連続 $ {}_rF_s $ 超幾何級数の比に対して分岐連分数展開が構成され、$ s=0 $ および一般の $ r,s $ に対して係数に関するHankル全正定性が証明された。
• 基本超幾何級数 $ {}_r\phi_s $ に対しても、連続項の比に対する分岐連分数が導出され、$ q $-類似の設定への理論の拡張がなされた。
• 整数係数を持つ $ m $-S分数では、Apéry数やB型Narayana多項式のような数列を表現できないことが判明した。これは可除性の制約に起因し、このアプローチの限界を示している。