[論文レビュー] LATTICES ACTING ON RIGHT-ANGLED HYPERBOLIC BUILDINGS

Anne Thomas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、右角超曲面ビルディングの自己同型群におけるラティスが、木ラティスと類似した構造的性質を持つことを確立している。これは、群のグラフから複素群への関手を用いて示されている。非一様および一様ラティスの共体積を特徴付け、Aut(X) 内に両方のタイプの無限上昇タワーが存在することを証明している。

ABSTRACT

Let X be a right-angled hyperbolic building. We show that the lattices in Aut(X) share many properties with tree lattices. For example, we characterise the set of covolumes of uniform and of nonuniform lattices in Aut(X), and show that the group Aut(X) admits an infinite ascending tower of uniform and of nonuniform lattices. These results are proved by constructing a functor from graphs of groups to complexes of groups.

研究の動機と目的

• 右角超曲面ビルディングの自己同型群におけるラティスの構造的性質を調査すること。
• Aut(X) 内の非一様および一様ラティスの可能な共体積の集合を特定すること。
• Aut(X) 内に一様および非一様ラティスの無限上昇タワーが存在することを確立すること。
• 木ラティスの技術を、より複雑な右角超曲面ビルディングの設定に拡張すること。

提案手法

• 群のグラフから複素群への関手を構成し、ビルディング上の群作用をモデル化すること。
• 関手を用いて、より単純な複体からビルディング構造への群論的性質の持ち上げを実行すること。
• 右角超曲面ビルディング X の自己同型群 Aut(X) を分析するために関手を適用すること。
• 関連する群作用と商構造を分析することで、ラティスを共体積によって特徴付けること。
• 関手的枠組みを用いて繰り返しネストされたラティスを構成することで、無限上昇タワーの存在を証明すること。
• 既知の結果をビルディングの文脈に適応することで、木ラティス理論との類似性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右角超曲面ビルディング X に対して、Aut(X) 内の一様ラティスの共体積の集合は何か？
• RQ2 右角超曲面ビルディング X に対して、Aut(X) 内の非一様ラティスの共体積の集合は何か？
• RQ3 Aut(X) は一様ラティスの無限上昇タワーを含むことができるか？
• RQ4 Aut(X) は非一様ラティスの無限上昇タワーを含むことができるか？
• RQ5 ラティス Aut(X) は、構造的およびコhomological性質において、木ラティスにどの程度類似しているか？

主な発見

• 一様ラティスの共体積の集合が特徴付けられ、既知の木ラティスの結果が拡張された。
• 非一様ラティスの共体積の集合も特徴付けられ、類似した算術的制約が示された。
• Aut(X) は一様ラティスの無限上昇タワーを許容する。これは、真に増加するようなラティスの列が存在することを意味する。
• Aut(X) は非一様ラティスの無限上昇タワーを許容する。これは、豊富な部分群構造を示している。
• 群のグラフから複素群への関手は、ラティス論的性質をビルディング設定に効果的に転送した。
• 結果は、共体積構造および部分群タワーの存在という点で、Aut(X) 内のラティスと木ラティスとの間の強い類似性を示している。