[論文レビュー] Lattices, cohomology and models of six dimensional almost abelian solvmanifolds

Sergio Console, Maura Macrì|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、モストウ条件が成立しない6次元ほぼアーベルな可解多様体の格子を構成し、de Rhamコホロロジーが格子に依存することを示す。修正されたリー群とオプレア＝トラレの手法を用いてコホロロジーと最小モデルを計算し、一部の可解多様体が非不変なシンプレクティック構造を有することを示し、形式性およびリーマン型性の性質を分析する。主な結果として、非形式的モデルや特定の状況下での非不変なシンプレクティック形式が得られる。

ABSTRACT

We construct lattices on six dimensional not completely solvable almost abelian Lie groups, for which the Mostow condition does not hold. For the corresponding compact quotients, we compute the de Rham cohomology (which does not agree in general with the Lie algebra one) and a minimal model. We show that some of these solvmanifolds admit not invariant symplectic structures and we study formality and Lefschetz properties.

研究の動機と目的

• 6次元ほぼアーベルな可解リー群における格子を構成し、その際にモストウ条件が成立しないようにし、コホロロジーが格子に依存するようにする。
• 得られた可解多様体のde Rhamコホロロジーと最小モデルを計算し、それらがこれらの状況下でリー代数のコホロロジーとは異なることを示す。
• これらの可解多様体に非不変なシンプレクティック構造が存在するかを調査する。
• 構成された可解多様体における形式性およびハード・リーマン型性を分析する。

提案手法

• 文献[3]の基準（命題2.1）を用いて、6次元ほぼアーベルなリー群における格子を構成する。
• 可解リー群の修正法を適用し、可解多様体のコホロロジーと修正された群のリー代数コホロロジーとの関係を確立する。
• フェリックスとトーマスの結果に基づくオプレア＝トラレの手法を用いて、非ノルム的ファイブレーションのためのコーサル＝スルリーンモデルを構成する。
• 微分付き可換代数の技法を用いて、特定の可解多様体に対して最小モデルを明示的に計算する。
• s-形式性および定理5.2を用いて、形式性を評価する。特に、4次元モデルでは1-形式性のチェックを行う。
• コホロロジーに恒等写像を誘導するc.g.d.a.準同型の存在によって形式性を検証する。そのような写像が存在しない場合には、背理法により非形式性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元ほぼアーベルな可解多様体において、モストウ条件が成立しない格子を構成できるか。その場合、コホロロジーが格子に依存するようになるか。
• RQ2 これらの可解多様体に非不変なシンプレクティック構造が存在するか。また、それらはどのように検出可能か。
• RQ3 これらの可解多様体のうち、形式的であるものはどれか。最小モデルにおける微分の役割は、形式性を決定づけるか。
• RQ4 これらの可解多様体におけるハード・リーマン型性はどのように振る舞うか。また、その失敗に至る条件は何か。

主な発見

• G_{6.8}^{p=0}/\tilde{\rho}_{2\tau} において、ベッチ数は b_1=3, b_2=3, b_3=2 であり、リー代数コホロロジーの b_1=1, b_2=1, b_3=2 とは異なる。
• G_{6.10}^{a=0}/\tilde{\rho}_{2\tau} は b_1=4, b_2=7, b_3=8 であり、非形式的である。これは、形式性写像のもとで0に写されない非自明なコホロロジー類 [Ap] によって示される。
• G_{5.17}^{p,-p,r}\times\bbR/\tilde{\rho}_{2\tau} は p \neq 0 かつ r \neq \pm1 のとき、非不変なシンプレクティック構造を有し、b_1=6, b_2=15, b_3=20 である。
• G_{5.17}^{p,-p,r}\times\bbR/\tilde{\rho}_{2\tau} の最小モデルは \mathcal{M}=(\Lambda(u_1,A_1,x_2,y_2\beta_3,\gamma_3),D) で、Du=DA=Dx=Dy=0, D\beta=x^2, D\gamma=y^2 であり、非自明な微分構造を示している。
• G_{5.18}^0\times\bbR/\Gamma_{2\pi} の最小モデルは \mathcal{M}=(\Lambda(u_1,A_1,x_1,y_1,z_1,t_1),D) で、Dz=Ax, Dt=Ay であり、D|_{\mathcal{M}_U} \equiv d であるため、形式的である。
• G_{3.5}^0\times\bbR^3/\Gamma_{2\pi} の最小モデルは \mathcal{M}=(\Lambda(w_1,v_1,A_1,x_1,y_1),0) であり、微分が自明であるため、形式的モデルである。