[論文レビュー] Lattices over Polynomial Rings and Applications to Function Fields

Jens-Dietrich Bauch|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式環 $k[t]$ 上の格子に対する還元アルゴリズムを提示し、級数展開に依存せずに関数体におけるリーマン・ロッホ空間および除数の逐次最小値の計算を可能にする。この手法は、非整数値をとる長さ関数に対しても一般化されたレンストラのアプローチであり、$k$ 上の操作数として $O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$ の複雑さを達成し、従来の系列近似に依存するアルゴリズムの限界を解消する。

ABSTRACT

This paper deals with lattices $(L,\Vert~\Vert)$ over polynomial rings, where $L$ is a finitely generated module over $k[t]$, the polynomial ring over the field $k$ in the indeterminate $t$, and $\Vert~\Vert$ is a discrete real-valued length function on $L\otimes_{k[t]}k(t)$. A reduced basis of $(L,\Vert~\Vert)$ is a basis of $L$ whose vectors attain the successive minima of $(L,\Vert~\Vert)$. We develop an algorithm which transforms any basis of $L$ into a reduced basis of $(L,\Vert~\Vert)$. By identifying a divisor $D$ of an algebraic function field with a lattice $(L,\Vert~\Vert)$ over a polynomial ring, this reduction algorithm can be addressed to the computation of the Riemann-Roch space of $D$ and the successive minima of $(L,\Vert~\Vert)$, without the use of any series expansion.

研究の動機と目的

• 非整数値をとる長さ関数を扱える、多項式環 $k[t]$ 上の格子に対する一般化された還元アルゴリズムの開発を目的とする。
• 関数体における除数のリーマン・ロッホ空間および逐次最小値の計算から級数展開を排除することを目的とする。
• ヘスのアルゴリズムに内在する欠陥、すなわち逐次最小値を正確に計算するのではなく近似することを是正することを目的とする。
• 除数 $D$ の $τ$-基底および逐次最小値を計算するための複雑さ最適化手法を提供することを目的とする。
• 任意の計算可能定数体に適用可能な、関数体における格子還元のフレームワークを確立することを目的とする。

提案手法

• 本稿では、$k[t]$ 上のノルム付き格子 $(L, \|\cdot\|)$ を定義し、$a \in k[t]$ に対して $\|ax\| = |a| + \|x\|$ を満たす離散的実数値長さ関数 $\|\cdot\|$ を導入する。
• 逐次最小値を達成する基底としての還元基底の概念を導入し、補題 1.13 を用いてその存在を証明する。
• 非整数値をとる格子に対応するレンストラの還元アルゴリズムの一般化を構築し、任意の基底を還元基底に変換可能であることを実現する。
• 関数体における除数 $D$ を $k[t]$ 上の格子 $(L, \|\cdot\|)$ に写像し、リーマン・ロッホ空間 $\mathcal{L}(D)$ を格子還元により計算可能にする。
• ヘルメート基底の計算と行列 $M$ および $M'$ を用いた行列変換を用い、複雑さは主に行列の逆行列計算および積演算に支配される。
• 最終的なアルゴリズムは、$I$ のヘルメート基底の計算、$I_\infty$ の還元基底の計算、および変換行列 $T = MM'^{-1}$ の組み合わせにより、$\mathcal{L}(D)$ の $k$-基底および逐次最小値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数値をとる長さ関数に対して、$k[t]$ 上の格子に対する一般化された還元アルゴリズムを開発できるか？
• RQ2 リーマン・ロッホ空間および逐次最小値を、プアセーまたはローレント級数展開に依存せずに計算できるか？
• RQ3 関数体における格子還元の複雑さは、関数体の次数および除数の高さに関してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 従来の手法とは異なり、元の格子の正確な逐次最小値を保持できるか？
• RQ5 $n$, $h(D)$, $C_f$, $q$ を用いて、$\mathcal{L}(D)$ の $k$-基底および除数 $D$ の逐次最小値を計算する計算コストはどの程度か？

主な発見

• 提案された還元アルゴリズムは、$k[t]$ 上の格子の任意の基底を還元基底に変換し、逐次最小値を達成可能であり、非整数値をとる長さ関数に対しても有効である。
• アルゴリズムは級数展開を完全に回避し、従来の手法が定数体の拡張や高精度級数計算を必要としていた技術的問題を解消する。
• 関数体における $\mathcal{L}(D)$ の $k$-基底および逐次最小値の計算の複雑さは、$k$ 上の操作数として $O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$ で上限づけられる。ここで $\rho > 0$ である。
• 除数 $D = D_\infty + D_0$ で $D_\infty = r(t)_\infty$ の場合、特定の構造的仮定のもとで複雑さは $O(n^3(h(D) + n^3 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$ に低下する。
• ヘスのアルゴリズムとは異なり、元の格子の逐次最小値を正確に計算する。
• 変換行列 $T = MM'^{-1}$ はアルゴリズムの中心的役割を果たし、そのコストは主に行列の逆行列計算および積演算に支配され、$O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2)$ で上限づけられる。