[論文レビュー] Laurent series expansions of multiple zeta-functions of Euler-Zagier type at integer points

Kohji Matsumoto, Tomokazu Onozuka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

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ひとこと要約

本稿は、複数変数における任意の整数点におけるEuler-Zagier多重ゼータ関数のローラン級数展開を計算する明示的な公式とアルゴリズムを提供する。メリン・バーンズ積分と調和積の恒等式を用いて、一般化されたステルトジェス定数および多重ゼータ関数の微分を用いて係数を導出し、収束しない点における特異性を解消する。特に r ≥ 2 および絶対収束領域外の整数タプルに対して有効である。

ABSTRACT

We give explicit expressions (or at least an algorithm of obtaining such expressions) of the coefficients of the Laurent series expansions of the Euler-Zagier multiple zeta-functions at any integer points. The main tools are the Mellin-Barnes integral formula and the harmonic product formulas. The Mellin-Barnes integral formula is used in the induction process on the number of variables, and the harmonic product formula is used to show that the Laurent series expansion outside the domain of convergence can be obtained from that inside the domain of convergence.

研究の動機と目的

• 任意の複数変数における整数点でのEuler-Zagier多重ゼータ関数のローラン級数展開の係数に対する明示的表現を導出すること。
• 絶対収束領域外の整数点におけるこれらのゼータ関数の振る舞いを解明すること、特に r ≥ 2 の場合に焦点を当てる。
• 既知の特殊関数および微分を用いたアルゴリズム的手法によりローラン係数を計算すること。
• 古典的なリーマンゼータ関数のローラン展開を、(1,…,1) や他の整数タプルにおける特異性を含む多変数設定に拡張すること。

提案手法

• 変数の数 r に関する帰納的議論において、メリン・バーンズ積分公式を主要な道具として用いる。
• 調和積の公式を適用し、収束領域外の領域、特に特異点を含む領域へのローラン展開の拡張を実現する。
• 多重ゼータ関数の偏微分および一般化されたステルトジェス定数 γ_(n₁,…,nᵣ) を用いて展開係数を表現する。
• 二項係数の展開および極に近いゼータ値の漸近的解析を用いて、特異部および正則部を計算する。
• 展開における和の範囲を制御する関数 Mᵣ(m) を用いた再帰的構造を導入する。
• 特に複数の変数が非正整数に近づく場合に、慎重な O-項の推定と解析接続により発散項を処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cʳ 内の任意の整数点 (m₁,…,mᵣ) におけるEuler-Zagier多重ゼータ関数のローラン級数展開を、絶対収束領域外の点を含めて体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 r ≥ 2 かつ mᵢ ∈ ℤ の場合、特に mᵢ ≤ 0 または mᵢ = 1 のとき、ローラン展開の特異部および正則部の正確な構造は何か？
• RQ3 一般化されたステルトジェス定数と多重ゼータ関数の微分が、多変数ローラン展開の係数をパrameter化する方法は何か？
• RQ4 調和積の恒等式を用いて、収束領域から全複素数空間へのローラン展開の拡張は可能か？特に極においても成立するか？
• RQ5 I(s₁,…,sᵣ; Mᵣ(m)+1−η) のような積分項は、高ランクの場合に収束を保ち、正しい極限値を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の整数点 (m₁,…,mᵣ) におけるローラン級数展開の係数は、1 ≤ k ≤ r に対して一般化されたステルトジェス定数 γ_(n₁,…,nₖ) および多重ゼータ関数の微分 ζₖ^(l₁,…,lₖ)(q₁,…,qₖ) を用いて明示的に表現可能である。
• r = 2 かつ (m₁,m₂) ∈ ℤ≤₀ × ℤ の場合、本稿では 1/(s₁+s₂−m₁−m₂) の極項と有限の正則項を含む完全なローラン展開を導出し、ζ(m₁+m₂−1) および γ に明示的な依存関係を示す。
• m₁ ≤ 0 かつ m₂ ≤ 0 の場合、特異部は二項係数と s₁+s₂ = m₁+m₂ で単一極を持つゼータ関数から生じ、その留数は ζ(m₁+m₂−1) に比例する。
• 標準的な展開が失敗する場合、例えば mᵣ ≤ 0 または mᵣ = 1 の場合、O(|sᵣ−mᵣ|) および O(|s₁+⋯+sᵣ−m₁−⋯−mᵣ|) の誤差項を組み込むことで、本手法は効果的に対処できる。
• r = 3 の場合、特に m₂ ≤ 0 かつ m₃ = 1 のとき、中間的な式に特異性があるため、積分剰余項を無視できないことが明らかになった。
• 調和積の公式により収束領域外への展開の拡張が可能であるが、極が一致する場合には注意が必要である。特に s₃ = 1 の場合、O(|s₂−m₂|/(s₃−1)) 項が直接的な極限評価を妨げる。