[論文レビュー] Law and exact sampling of the first passage of a spectrally positive strictly stable process

Zhiyi Chi|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、指数が (1, 2) の範囲にあるスぺクトル的に正の厳密に安定過程の最初の通過三重項（時間、アンダーシュート、オーバーシュート）の連合分布の級数表現を提示する。この表現により、三重項の正確なシミュレーションが可能となり、固定時刻における過程値と累積最大値の連合分布、および最初の通過三重項と通過前の最大値の連合分布に関する新たな結果が得られる。

ABSTRACT

For a spectrally positive and strictly stable process with index in (1, 2), a series representation is obtained for the joint distribution of the passage triplet, i.e., the time, the undershoot, and the overshoot of first passage. The representation is shown to allow exact sampling of the first passage triplet. Consequences of the representation include the joint law of the value and the running maximum of the process at a fixed time point, and a joint law of the first passage triplet and the running maximum before the first passage.

研究の動機と目的

• スぺクトル的に正の厳密に安定過程の最初の通過三重項（時間、アンダーシュート、オーバーシュート）の連合分布の級数表現を導出すること。
• 導出された級数表現を用いて、反転または棄却サンプリング技術による最初の通過三重項の正確なシミュレーション手法を確立すること。
• この表現を固定時刻における過程値とその累積最大値の連合分布の特徴づけに拡張すること。
• 最初の通過三重項とその通過前の累積最大値の連合分布を導出すること。
• 片側ジャンプを有する安定過程におけるサンプリングおよび分布的解析のための構成的フレームワークを提供すること。

提案手法

• スぺクトル的に正の厳密に安定過程の性質を用いて、最初の通過三重項の連合密度の級数表現を導出する。
• 級数表現を活用し、反転または棄却サンプリング手法を用いて、三重項の正確なシミュレーションアルゴリズムを構築する。
• 級数表現を応用して、固定時刻における過程値とその累積最大値の連合分布を計算する。
• このフレームワークを拡張し、最初の通過三重項とその通過前の累積最大値の連合分布を導出する。
• 自己相似性およびランベルティの表現を活用して、最初の通過分布を安定な補助過程とリーヴィ過程の性質に帰着させる。
• 級数項の有界性と尾部挙動を用いて、級数表現の収束性と数値的実行可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スぺクトル的に正の厳密に安定過程における最初の通過三重項の連合分布に対して、級数表現を導出可能か？
• RQ2 導出された級数表現は、最初の通過三重項の正確なシミュレーションを可能にするか？
• RQ3 級数表現が与えられたもとで、固定時刻における過程値とその累積最大値の連合分布は何か？
• RQ4 最初の通過三重項と通過前の累積最大値の連合分布は、どのように特徴づけられるか？
• RQ5 級数表現は、片側ジャンプを有する安定過程におけるサンプリングおよび分布的解析にどのような意味を持つか？

主な発見

• 指数が (1, 2) の範囲にあるスぺクトル的に正の厳密に安定過程の最初の通過三重項（時間、アンダーシュート、オーバーシュート）の連合密度に対して収束する級数表現が確立された。
• 級数表現により、級数項に基づく数値的反転または棄却サンプリングを用いた、最初の通過三重項の正確なシミュレーションが可能となった。
• この表現により、任意の固定時刻における過程値とその累積最大値の連合分布が得られ、この手法の適用範囲が通過時刻を越えて拡張された。
• 最初の通過三重項とその通過前の累積最大値の連合分布が導出され、最初の通過までの経路行動の完全な記述が可能となった。
• この手法は、負のジャンプを有さない安定過程に適用可能であり、自己相似性およびランベルティ変換を活用して、問題を既知の補助過程の性質に還元した。
• 導出された分布は解析的に取り扱いやすく、計算が効率的であり、安定過程におけるシミュレーションおよび推論のための新たなツールを提供した。