[論文レビュー] Law of Large Numbers and Central Limit Theorem under Nonlinear Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、部分線形期待値の下で大数の法則（LLN）および中心極限定理（CLT）を確立し、正規分布の非線形アナログであるG正規分布を導入する。完全非線形PDEの推定を用いて、G期待値における同分布独立確率変数が分布収束する際、G正規分布に収束することを証明し、金融・統計分野におけるモデル不確実性を扱うための古典的確率法則の拡張を達成する。

ABSTRACT

The law of large numbers (LLN) and central limit theorem (CLT) are long and widely been known as two fundamental results in probability theory. Recently problems of model uncertainties in statistics, measures of risk and superhedging in finance motivated us to introduce, in [4] and [5] (see also [2], [3] and references herein), a new notion of sublinear expectation, called extquotedblleft% $G$-expectation extquotedblright, and the related extquotedblleft$G$-normal distribution extquotedblright from which we were able to define G-Brownian motion as well as the corresponding stochastic calculus. The notion of G-normal distribution plays the same important rule in the theory of sublinear expectation as that of normal distribution in the classic probability theory. It is then natural and interesting to ask if we have the corresponding LLN and CLT under a sublinear expectation and, in particular, if the corresponding limit distribution of the CLT is a G-normal distribution. This paper gives an affirmative answer. The proof of our CLT is short since we borrow a deep interior estimate of fully nonlinear PDE in [6] which extended a profound result of [1] (see also [7]) to parabolic PDEs. The assumptions of our LLN and CLT can be still improved. But the discovered phenomenon plays the same important rule in the theory of nonlinear expectation as that of the classical LLN and CLT in classic probability theory.

研究の動機と目的

• 部分線形期待値の枠組みに、古典的大数の法則および中心極限定理を拡張すること。
• 部分線形期待値におけるCLTの極限分布が、古典確率における正規分布と同様にG正規分布であるかどうかを検証すること。
• 特にリスク測定および金融分野におけるスーパーヘッジィングに適した、モデル不確実性下での確率法則の厳密な基礎を提供すること。
• G期待値およびGブラウン運動を用いて、確率的極限定理を曖昧な確率分布を扱えるように一般化すること。
• i.i.d.確率変数の正規化された和が、最小限のモーメントおよび独立性の仮定のもとでG正規分布に収束することを示すこと。

提案手法

• 単調性、劣加法性、正homogeneity、定数の平行移動性を満たすG期待値による部分線形期待値の定式化。
• テスト関数を用いた$C_{poly}(\mathbb{R})$における同一分布の概念を用いて、G期待値下でのi.i.d.確率変数の定義。
• 完全非線形放物型PDEに対する深い内部推定（[6]より）を応用し、Gブラウン運動と非線形PDEの関係を活用してCLTを証明。
• 時間離散化された動的計画法を用い、$\partial_t V + G(\partial_{xx}^2 V) = 0$を満たすテスト関数$V(t,x)$を導入。ここで$G$は非線形生成子である。
• テイラー展開およびホルダー連続性推定を用いて、PDEの離散近似における誤差項を評価し、$n \to \infty$で0に収束することを示す。
• 有界かつ一様連続な$\varphi$に対して、$\mathbb{E}[\varphi(S_n / \sqrt{n})]$が$\widetilde{\mathbb{E}}[\varphi(\xi)]$に収束することを確立。ここで$\xi$はG正規分布に従う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形期待値下でも大数の法則が成り立つか。また、正規化された和が$L^2$ノルムで0に収束するか。
• RQ2 古典的中心極限定理を非線形期待値の枠組みに一般化でき、極限分布がG正規分布であるか。
• RQ3 G期待値下でG正規分布に収束するための確率変数の条件は何か。
• RQ4 部分線形期待値下でのCLTの収束速度はどのように振る舞い、PDE技法を用いて有界化できるか。
• RQ5 G正規分布は、古典確率における正規分布と同様に、非線形期待値枠組みにおける自然な極限分布であるか。

主な発見

• 部分線形期待値下での大数の法則が成立：$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left|\frac{S_n}{n}\right|^2\right] = 0$、収束速度は$\frac{\overline{\sigma}^2}{n}$で有界。
• G期待値下での中心極限定理により、有界かつ一様連続な$\varphi$に対して$\mathbb{E}\left[\varphi\left\{\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right\} \to \widetilde{\mathbb{E}}\left[\varphi(\xi)\right]$が成り立ち、ここで$\xi$はG正規分布に従う。
• CLTにおける極限分布はG正規分布であり、古典確率における正規分布が果たす役割と同様に、非線形期待値理論の基礎的役割を果たす。
• CLTにおける収束速度は、$O(n^{-\alpha/2})$（$\alpha \in (0,1)$）のオーダーであり、テスト関数のホルダー正則性および確率変数のモーメントに依存する。
• 証明は、完全非線形放物型方程式の粘性解理論に裏打ちされ、特に[6]における内部正則性推定を活用している。
• リプシッツ関数による近似を用いて、有界かつ一様連続関数への一般化が可能であり、極限の安定性が一様収束のもとで確認される。