[論文レビュー] Law of large numbers and fluctuations in the sub-critical and $L^2$ regions for SHE and KPZ equation in dimension $d\geq 3$

Clément Cosco, Shuta Nakajima+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ の次元において、一般の初期条件および多次元収束を含め、弱い不純度領域と $L^2$-領域の全域にわたって、確率的熱方程式（SHE）およびKardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程式の大数の法則と中心極限定理を確立する。マルティンゲール中心極限定理および指向的高分子の精密な局所極限定理を用いることで、従来の結果を一般の初期条件および多次元収束にまで拡張し、従来の研究で未解決だった、下臨界およびEdwards-Wilkinson領域におけるギャップを解消する。

ABSTRACT

There have been recently several works studying the regularized stochastic heat equation (SHE) and Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation in dimension $d\geq 3$ as the smoothing parameter is switched off, but most of the results did not hold in the full temperature regions where they should. Inspired by martingale techniques coming from the directed polymers literature, we first extend the law of large numbers for SHE obtained in [MSZ16] to the full weak disorder region of the associated polymer model and to more general initial conditions. We further extend the Edwards-Wilkinson regime of the SHE and KPZ equation studied in [GRZ18,MU17,DGRZ20] to the full $L^2$-region, along with multidimensional convergence and general initial conditions for the KPZ equation (and SHE), which were not proven before. To do so, we rely on a martingale CLT combined with a refinement of the local limit theorem for polymers.

研究の動機と目的

• 従来の研究で取り上げられた制限された弱い不純度領域を超えて、確率的熱方程式（SHE）の平均法則を拡張すること。
• SHEおよびKPZのEdwards-Wilkinson領域を、一般の初期条件および多次元収束を含む、$L^2$-領域の全域に一般化すること。
• $d \geq 3$ において、温度および $L^2$-領域の全域にわたって成立しなかった従来の結果の制限を克服すること。
• 正則化されたSHEおよびKPZ方程式の漸近的挙動を、スムージングパラメータが $0$ に近づく際に厳密に記述するフレームワークを提供すること。

提案手法

• マルティンゲール中心極限定理（martingale CLT）を用いて、SHEおよびKPZ方程式の $L^2$-領域におけるフラクチュエーションを分析する。
• 指向的高分子の精密な局所極限定理を適用し、弱い不純度領域における分配関数の収束を制御する。
• 拡散的スケーリングと時間反転された白色ノイズ場 $\xi^{(\varepsilon,t)}$ を用いて、正則化されたSHEと高分子分配関数との間の関係をフェインマン＝カックの公式により関連付ける。
• ホープ＝コール変換 $h_\varepsilon = \log u_\varepsilon$ を用いて、SHEの解とKPZ方程式を結びつける。
• $\varepsilon \to 0$ の極限で収束を保証するために、ノイズスケーリング $\varepsilon^{(d-2)/2}$ を用いた再正則化スキームを適用する。
• 熱核推定およびブラウン運動ブリッジの計算を用いて、条件付き期待値の収束における誤差項を抑えている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SHEの平均法則は、$d \geq 3$ における全弱い不純度領域にまで拡張可能か？
• RQ2 SHEおよびKPZ方程式のEdwards-Wilkinson領域は、一般の初期条件を含む全 $L^2$-領域で成立するか？
• RQ3 従来の一様次元の結果を超えて、$L^2$-領域におけるKPZ方程式の多次元収束を確立できるか？
• RQ4 指向的高分子理論からのマルティンゲール技法を、超臨界次元におけるフラクチュエーション極限を証明するためにどのように適応できるか？

主な発見

• SHEの平均法則は、関連する高分子モデルの全弱い不純度領域にまで拡張され、一般の初期条件に対して有効である。
• SHEおよびKPZ方程式のEdwards-Wilkinson領域は、$L^2$-領域の全域にまで厳密に拡張され、多次元収束が含まれる。
• マルティンゲール中心極限定理を用いて、$L^2$-領域におけるSHEおよびKPZ方程式の中心極限定理を確立し、収束速度は $\ell/T$-依存の境界によって制御される。
• 条件付き期待値とその極限との差の均一な境界を導出し、適切な正規化のもとで誤差が $O((\ell/T)^{1/2})$ のオーダーで減少することを示した。
• 再正則化パラメータ $C_\varepsilon = \beta^2 V(0) \varepsilon^{-2}/2$ が、正則化されたKPZ方程式における発散を正しく除去していることが確認された。
• 結果は一般の初期条件 $u_0$ および $h_0$ に対して成り立ち、従来の平坦または有界な初期データに制限された結果を拡張する。