[論文レビュー] Law of large numbers for a class of random walks in dynamic random environments

Luca Avena, W.Th.F. den Hollander+1 more|TU/e Research Portal|Nov 12, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平衡状態に置かれた相互作用粒子系によって駆動される1次元の動的確率環境上での最近接者ランダムウォークに対して、クエンチド大数の法則を確立する。コーン混合条件の下で空間的・時間的再生の議論を用い、ほとんど確実な線形速度を証明する。より強い指数混合条件下では、局所的ドリフトの大きさに関する収束するべきべき級数展開を、全速度について導出し、最初の項が速度の符号を決定する。結果は高次元へと拡張可能である。

ABSTRACT

In this paper we consider a class of one-dimensional interacting particle systems in equilibrium, constituting a dynamic random environment, together with a nearest-neighbor random walk that on occupied/vacant sites has a local drift to the right/left. We adapt a regeneration-time argument originally developed by Comets and Zeitouni for static random environments to prove that, under a space-time mixing property for the dynamic random environment called cone-mixing, the random walk has an a.s. constant global speed. In addition, we show that if the dynamic random environment is exponentially mixing in space-time and the local drifts are small, then the global speed can be written as a power series in the size of the local drifts. From the first term in this series the sign of the global speed can be read off. The results can be easily extended to higher dimensions.

研究の動機と目的

• 動的確率環境上での最近接者ランダムウォークに対してクエンチド大数の法則を確立すること。
• ほぼ確実に定数の全速度が存在することを保証する、動的環境における十分な混合条件を同定すること。
• より強い指数混合条件下で、局所的ドリフトの大きさのべき級数として全速度の摂動展開を導出すること。
• 展開における先駆項から全速度の符号を特定すること。
• 結果を高次元の設定へと拡張すること。

提案手法

• 静的環境に対して最初に開発された再生時間の議論を、動的で空間的・時間的相関を持つ環境へと適応する。
• 空間的・時間的混合性を保証する空間的・時間的コーン混合条件を導入する。
• アンネイルド測度の下でのランダムウォークのクエンチド法則を用いて、$X_t/t$ のほとんど確実な収束を $v$ に導く。
• 指数混合の下で摂動論を適用し、全速度を局所的ドリフトパラメータのべき級数として展開する。
• 環境過程の生成作用素とリゾルベント作用素を用いて、級数展開の最初のいくつかの項を計算する。
• 平衡測度と相関関数を用いて展開の係数を計算し、特に独立したスピン反転において $c_3$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的確率環境にどのような条件下で、ランダムウォークが定数のほとんど確実な速度を持つのか。
• RQ2 環境が指数混合であり、局所的ドリフトが小さい場合に、全速度の摂動展開を導出できるか。
• RQ3 全速度の符号は、摂動級数の一次項の符号に依存するか。
• RQ4 コーン混合条件は、イジング模型やボルダー・モデルなどの既知の確率過程とどのように関係するか。
• RQ5 1次元から高次元へと結果を一般化できるか。

主な発見

• コーン混合条件の下で、ランダムウォークはクエンチド大数の法則を満たす：$\lim_{t\to\infty} X_t/t = v$ ほとんど確実に、ある $v \in \mathbb{R}$ に対して。
• 環境が指数混合であり、局所的ドリフトが十分に小さい場合、全速度は局所的ドリフトの大きさに関する収束するべき級数展開を持つ。
• 級数における最初の非ゼロ項が、全速度の符号を決定し、方向性の定性的な予測を可能にする。
• 独立したスピン反転ダイナミクスの下で、展開における係数 $c_3$ は明示的に計算され、$c_3 = \frac{4}{U}\rho(2\rho-1)(1-\rho)\left[\frac{2U+V}{U}G_V(0) - \frac{3U+2V}{U}G_{2V}(0) - G_{2V}(1)\right]$ である。
• コーン混合環境の例として、高温における確率的イジング模型や、ドブリーシュイン領域における空間的・時間的ギブス測度が挙げられる。
• 結果は高次元へと拡張可能であり、類似した混合条件下で同じ漸近的速度挙動を示す。