[論文レビュー] Law of the exponential functional of a new family of one-sided Levy processes via self-similar continuous state branching processes with immigration and the Wright hypergeometric functions

Pierre Patie|ArXiv.org|Dec 7, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$1 < \alpha < 2$ および $\gamma > -\alpha$ のパラメータを持つ、ポッホハマー記号を含むラプラス指数を有する一様なLévy過程の新しい2パラメータ族を導入し、自己同型連続状態拡散過程（移民付き）を用いてその指数関数的機能の密度を導出する。主な結果は、密度が ${}_{1}\bar{\Psi}_{1}$ ライツ超幾何関数で表されることであり、Dufresneの逆ガンマ分布則や逆Linnik分布といった既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We first introduce and derive some basic properties of a two-parameters family of one-sided Levy processes. Their Laplace exponents are given in terms of the Pochhammer symbol. This family includes, in a limit case, the family of Brownian motion with drifts. Then, we proceed by computing the density of the law of the exponential functional associated to some elements of this family (and their dual) and some transformations of these elements. These densities are expressed in terms of the Wright hypergeometric functions. By means of probabilistic arguments, we derive some interesting properties enjoyed by these functions. On the way we also characterize explicitly the density of the semi-groups of the family of self-similar continuous state branching processes with immigration.

研究の動機と目的

• $1 < \alpha < 2$ および $\gamma > -\alpha$ の条件下で、ポッホハマー記号を含むラプラス指数を有する新しい2パラメータ族の一様Lévy過程を定義し、その性質を調査すること。
• この族の特定のメンバーおよびその変換に関連する指数関数的機能の密度を計算すること。
• これらのLévy過程にラムベール写像を適用することで、自己同型正のマルコフ過程の半群を特徴付けること。
• これらの過程の入門法を ${}_{1}\Psi_{1}$ ライツ超幾何関数の形で表現すること。
• これらの過程の確率的構造から、ライツ超幾何関数 ${}_{1}\Psi_{1}$ の新しい確率的性質を確率解析を用いて導出すること。

提案手法

• ラプラス指数が $\psi^{(\gamma)}(\lambda) = c\left((\lambda + \gamma)_{\alpha} - (\gamma)_{\alpha}\right)$ であるような、スペクトル的に負のLévy過程の2パラメータ族を導入する。ここで $(\cdot)_\alpha$ はポッホハマー記号を表す。
• これらのLévy過程と自己同型連続状態拡散過程（移民付き）（cbip）を結ぶために、ラムベール写像を適用する。
• 既知のcbipに関する結果を用いて、関連するマルコフ過程の半群の空間的ラプラス変換を導出する。
• 級数展開技術を用いてラプラス変換を逆変換し、半群密度の明示的表現を導出する。
• 半群の入門法をライツ超幾何関数 ${}_{1}\Psi_{1}$ の形で表現する。
• これらの入門法が、ラプラス指数 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda) = \psi^{(0)}(\lambda) - \frac{\alpha\delta}{\lambda + \alpha - 1}\psi^{(0)}(\lambda)$ を持つLévy過程の指数関数的機能の分布と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\alpha \in (1,2)$ および $\gamma > -\alpha$ をパラメータに持つ、ポッホハマー記号を含むラプラス指数を有する新しい一様Lévy過程族を構成できるか？
• RQ2 この新しいLévy過程族およびその双対に関して、指数関数的機能の密度の明示的形は何か？
• RQ3 関連する自己同型正のマルコフ過程の半群の入門法は、ライツ超幾何関数 ${}_{1}\Psi_{1}$ とどのように関係しているか？
• RQ4 これらの過程の確率的構造から、${}_{1}\Psi_{1}$ ライツ超幾何関数のどのような確率的性質を導出できるか？
• RQ5 この族の極限ケースは、既知の分布（逆ガンマ分布や逆Linnik分布）をどのように回復するか？

主な発見

• ラプラス指数 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda)$ を持つLévy過程の指数関数的機能の密度は、ライツ超幾何関数 ${}_{1}\Psi_{1}$ で表される。
• 逆ガンマ分布は $\alpha = 2$ かつ $\delta = 1$ の場合に特定のケースとして回復され、Dufresneの結果を確認する。
• 逆Linnik分布はこの族の極限ケースとして出現し、安定分布に関する既知の結果を拡張する。
• ラプラス指数 $\psi^{(0,\delta)}$ を持つLévy過程に関連する自己同型正のマルコフ過程の半群は、ライツ超幾何関数 ${}_{1}\Psi_{1}$ を用いて明示的に特徴付けられる。
• contour 積分表現と留数計算を用いて、${}_{1}\Psi_{1}$ 関数の漸近展開を導出し、代数的および指数的漸近挙動を明らかにする。
• 半群の入門法が、${}_{1}\Psi_{1}$ 関数の係数を含むべき級数として表現可能であることが示され、Bessel過程や歯車型過程を超えるクラスのsspMpに対する新しい明示的表現が得られる。