[論文レビュー] Laws and Likelihoods for Ornstein Uhlenbeck-Gamma and other BNS OU Stochastic Volatilty models with extensions

Lancelot F. James|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、完全シミュレーションとラプラス変換技術を用いて無限次元モデルを有限次元化することで、BNS型オーナイズ・ウーレンブルク（Ornstein-Uhlenbeck）確率的ボラティリティモデル、特にOUガンマ（OU-Γ）過程に対する扱いやすい尤度に基づく推論を開発する。主な貢献は、ガンマ分布およびディリクレ過程の性質を活用したOU-Γモデルにおける連合分布の新しい正確なサンプリング手法の確立であり、これにより、一般化されたフェラー一般化ガンマ畳み込み（FGGC）モデルの広いクラス内での効率的なマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）尤度分析およびオプションプライシングが可能になる。

ABSTRACT

In recent years there have been many proposals as flexible alternatives to Gaussian based continuous time stochastic volatility models. A great deal of these models employ positive Lévy processes. Among these are the attractive non-Gaussian positive Ornstein-Uhlenbeck (OU) processes proposed by Barndorff-Nielsen and Shephard (BNS) in a series of papers. One current problem of these approaches is the unavailability of a tractable likelihood based statistical analysis for the returns of financial assets. This paper, while focusing on the BNS models, develops general theory for the implementation of statistical inference for a host of models. Specifically we show how to reduce the infinite-dimensional process based models to finite, albeit high, dimensional ones. Inference can then be based on Monte Carlo methods. As highlights, specific to BNS we show that an OU process driven by an infinite activity Gamma process, that is an OU-$Γ$, exhibits unique features which allows one to exactly sample from relevant joint distributions. We show that this is a consequence of the OU structure and the unique calculus of Gamma and Dirichlet processes. Owing to another connection between Gamma/Dirichlet processes and the theory of Generalized Gamma Convolutions (GGC) we identify a large class of models, we call (FGGC), where one can perfectly sample marginal distributions relevant to option pricing and Monte Carlo likelihood analysis. This involves a curious result, we establish as Theorem 6.1. We also discuss analytic techniques and candidate densities for Monte-Carlo procedures which apply more generally.

研究の動機と目的

• バーナドルフ＝ニールセンとシーファード（BNS）が提唱した非正規、連続時間の確率的ボラティリティモデルにおいて、扱いやすい尤度手法の欠如に対処すること。
• 高次元・無限次元過程モデルを有限次元近似に還元することで、金融リターンモデルの統計的推論を可能にすること。
• ガンマ分布およびディリクレ過程との関連を活用した、OU-Γ過程における正確なサンプリング手順を確立すること。
• 完全シミュレーションと尤度計算が可能であるモデルクラスにまでこれらの手法を拡張すること、そのクラスはFGGCと呼ばれる。
• 一般のOUベースのボラティリティモデルにおけるオプションプライシングおよび尤度推定の実用的モンテカルロサンプリング手法を提供すること。

提案手法

• レヴィ劣化サブドミネーターによって駆動されるオーナイズ・ウーレンブルク過程の構造を活用して、尤度計算の次元を低減する。
• ウェーバー＝ソニンの公式およびラプラス変換の恒等式を適用し、OU-Γモデルにおける積分ボラティリティの正確な分布を導出する。
• ディリクレ過程との関連を用いた完全シミュレーションにより、ボラティリティと積分ボラティリティの連合分布から正確にサンプリングする。
• 補助変数および拡張密度に基づくモンテカルロ法を開発し、特に$Q_1$および$Q_2$サンプリングスキームを用いる。
• フェラー一般化ガンマ畳み込み（FGGC）フレームワークを用いて、正確なサンプリングと尤度計算が可能な広範なモデルクラスを同定する。
• フーリエ・コサイン積分表現を用いて、一般のOUモデルにおける尤度関数を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元的性質を持つBNS OU-Γ確率的ボラティリティモデルに対しても、正確な尤度推論が可能か？
• RQ2 ガンマ分布およびディリクレ過程のどのような数学的性質が、OU-Γモデルにおける正確なサンプリングを可能にするか？
• RQ3 フェラー一般化ガンマ畳み込み（FGGC）フレームワークを用いることで、より広いクラスの確率的ボラティリティモデルへの正確なサンプリングを拡張できるか？
• RQ4 一般のOUベースの確率的ボラティリティモデルにおける尤度に基づく推論に向けた実用的モンテカルロサンプリング戦略は何か？
• RQ5 ラプラス変換アプローチは、OU安定型やOU対数正規型のようなモデルで既知の密度が得にくい場合に、計算的に実行可能な代替手法を提供できるか？

主な発見

• ガンマ分布およびディリクレ過程の特異な微積分的性質のおかげで、OU-Γ過程は連合分布の正確な完全シミュレーションが可能であり、これにより扱いやすい尤度推論が実現される。
• 定理6.1は、OU-FGGCモデルにおける完全シミュレーションの十分条件を確立しており、特に混合測度$H$がアークサイン分布である場合に有効である。
• OU-Γモデルにおいては、拡張変数法とベータ分布を用いることで、積分ボラティリティとボラティリティの連合分布を正確にサンプリングできる。
• 特にOU安定型のような密度が扱いにくいモデルでは、$Q_2$によるラプラス変換アプローチが、複雑な密度評価に代わる数値的に安定で効率的な代替手段を提供する。
• OU対数正規型ではレヴィ密度が未知であるが、本手法によりレヴィ指数の数値評価を用いて尤度の近似が可能になる。
• FGGCフレームワークは、一般化ガンマ畳み込みの理論を用いて、オプションプライシング密度およびモンテカルロ尤度の両方を正確にサンプリング可能な広範なモデルクラスを同定する。