[論文レビュー] Laws of Large Numbers for the Occupation Time of an Age-Dependent Critical Binary Branching System

José Alfredo López-Mimbela, Antonio Murillo-Salas|ArXiv.org|Mar 10, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$[\mathbb{R}^d$ 内を対称 $\alpha$-安定運動をし、臨界的二進分裂を経験し、平均が有限または $\gamma$-安定分布の吸引領域に属する重い尾を持つ寿命を持つ年齢依存臨界的二進分裂粒子系の滞在時間に対する強い大数の法則を確立する。主な結果は、$d > \alpha\gamma$（重い尾を持つ寿命）または $d > \alpha$（平均が有限の寿命）のとき、正規化された滞在時間は概収束でレベーグ測度 $\lambda$ に収束するが、低次元では概収束で 0 に収束することを示している。

ABSTRACT

The occupation time of an age-dependent branching particle system in $\Rd$ is considered, where the initial population is a Poisson random field and the particles are subject to symmetric $α$-stable migration, critical binary branching and random lifetimes. Two regimes of lifetime distributions are considered: lifetimes with finite mean and lifetimes belonging to the normal domain of attraction of a $γ$-stable law, $γ\in(0,1)$. It is shown that in dimensions $d>αγ$ for the heavy-tailed lifetimes case, and $d>α$ for finite mean lifetimes, the occupation time proccess satisfies a strong law of large numbers.

研究の動機と目的

• 年齢依存寿命を持つ臨界的二進分岐粒子系の滞在時間過程に対する強い大数の法則を確立すること。
• 平均が有限または $\gamma$-安定分布の吸引領域に属する重い尾を持つ寿命という二つの異なる寿命の状態の下で、滞在時間の時間発展を分析すること。
• 正規化された滞在時間が概収束でレベーグ強度測度に収束するか、または 0 に収束するかを決定する次元依存条件を同定すること。
• 以前の結果（指数分布による寿命を持つマルコフ型系）を、一般の寿命分布を持つ非マルコフ型、年齢依存分岐系へと拡張すること。

提案手法

• 粒子が対称 $\alpha$-安定レヴィ運動に従い、死時に臨界的二進分裂を経験する系を、測度値過程 $X(t)$ としてモデル化する。
• 滞在時間過程 $J_t$ を、時間にわたる $X_s$ の積分として定義し、粒子が領域に滞在する合計時間を表す。
• 寿命分布の尾の挙動に依存して、集合 $A$ における滞在時間が閾値を超える確率を抑え込むために、カップリングとモーメント推定を用いる。
• 尾確率の減衰率を制御することで、Borel-Cantelli の補題を用いて概収束を示す。
• 特に $P_x(Z_{st}(A)>0)$ のような、安定過程が集合に到達する確率に関する既知の評価を用いて、期待滞在時間を推定する。
• 遷移密度 $p_t(x)$ のスケーリングと漸近的解析を用いて、滞在時間の次元依存の減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的年齢依存分岐系の正規化された滞在時間が概収束でレベーグ強度測度に収束するための次元的条件は何か？
• RQ2 特に $\gamma$-安定分布の吸引領域に属する重い尾を持つ寿命が、有限平均寿命と比較して、滞在時間の時間発展に与える影響は何か？
• RQ3 レヴィ運動の安定性指数 $\alpha$ と尾指数 $\gamma$ が、滞在時間収束の臨界次元を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 どの次元で滞在時間過程が概収束で 0 に収束するのか？ これは、集団の拡散と局所的絶滅に関する何を示唆するか？

主な発見

• 重い尾を持つ寿命（尾指数 $\gamma \in (0,1)$）の下で、任意のコンパクトな台を持つ正の連続関数 $\psi$ に対して、正規化された滞在時間 $t^{-1}\langle\psi, J_t\rangle$ は $d > \alpha\gamma$ のとき概収束で $\langle\psi, \Lambda\rangle$ に収束する。
• 平均が有限の寿命の下では、同じ $\psi$ 条件の下で、$d > \alpha$ のとき正規化された滞在時間は概収束で $\langle\psi, \Lambda\rangle$ に収束する。
• 重い尾を持つ寿命の下で $d < \alpha\gamma$ のとき、正規化された滞在時間 $t^{-1}\int_0^t \mathbf{1}_{\{X_s(A)>0\}} ds$ は、任意の有限半径の球 $A \subset \mathbb{R}^d$ に対して概収束で 0 に収束する。
• 平均が有限の寿命の下で $d < \alpha$ のとき、同じ正規化された滞在時間は概収束で 0 に収束し、これは固定領域にほとんど時間を費やさないことを示している。
• 臨界次元は、運動の安定性指数 $\alpha$ と寿命の尾指数 $\gamma$ の相互作用に依存し、重い尾の下では $d > \alpha\gamma$ が非退化した滞在時間挙動の閾値となる。
• 指数分布による寿命を持つマルコフ型分岐系に関する以前の結果を拡張し、非マルコフ型、年齢依存型で重い尾を持つ寿命を持つ系では、滞在時間収束のための次元閾値が異なることが示された。