[論文レビュー] Laws of the Iterated Logarithm for random walks on Random Conductance Models

Takashi Kumagai, Chikara Nakamura|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分的ガウス型ヒートカーネル推定のもとで、確率的コンダクタンスモデル上の確率ウォークの繰り返し対数法則（LIL）のクエンチド版を確立する。クエンチドヒートカーネルの境界とエルゴディシティの議論を活用し、決定的定数を伴う上界および下界のLILを証明し、i.i.d. や透過性の設定に限らない一般のコンダクタンスモデルへ結果を拡張する。

ABSTRACT

We derive laws of the iterated logarithm for random walks on random conductance models under the assumption that the random walks enjoy long time sub-Gaussian heat kernel estimates.

研究の動機と目的

• 一般の部分的ガウス型ヒートカーネル推定のもとで、確率的コンダクタンスモデル（RCMs）上の確率ウォークのクエンチド繰り返し対数法則（LIL）を導出すること。
• 従来の上界のみに焦点を当てた結果にとどまらず、上界および下界の両方のLILを確立すること。
• エルゴディシティの仮定のもとで、LILにおける定数が確率的ではなく決定的であることを示し、結果の強靭性と解釈可能性を高めること。
• 従来、上昇透過性透過や特定のi.i.d. コンダクタンスに限られていたLILの結果を、弱い自己相関性や可積分性条件を満たす一般のRCMsへ拡張すること。
• ヒートカーネル推定を基本仮定として用いることで、確率的環境におけるパス挙動の分析を統一的に扱い、広範な適用可能性を実現すること。

提案手法

• クエンチド部分的ガウス型ヒートカーネル推定（仮定1.1）を仮定し、確率的環境における遷移確率の尾部減衰を制御する。
• 環境マルコフ連鎖 $\{\omega_n = \tau_{X_n^\omega}\omega\}$ を用い、ここで $\omega_n$ は粒子から見た環境である。この連鎖を用いて、シフト作用素によるパス挙動の分析を行う。
• 環境空間 $\mathcal{X} = \Omega^{\mathbb{Z}}$ 上のシフト作用素 $T$ に対して、エルゴディシティ（仮定1.3）の仮定のもとで、バーキホフのエルゴディック定理を適用し、時間平均のほとんど確実収束を導出する。
• 再生数 $F_i(\omega_n) = P_0^\omega(A_i^\omega(a))$ のマルティンゲール収束に基づき、スケーリングされた移動距離の上界および下界の極限に関する0-1法則を適用する。
• ヒートカーネル推定と0-1法則、エルゴディシティを組み合わせることでLILを導出し、クエンチド測度のもとでLIL事象の確率が0または1であることを証明する。
• 不変測度 $\mu$ におけるスケーリングされた移動距離の極限集合が測度1をもつことから、LILにおける定数が決定的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のクエンチドヒートカーネル推定のもとで、確率的コンダクタンスモデル上の確率ウォークの上界および下界の繰り返し対数法則が確立可能か。
• RQ2 環境がエルゴディックである場合、確率的コンダクタンスモデル上のLILにおける定数は決定的になるか。
• RQ3 LILの結果は、i.i.d. または透過性に基づくコンダクタンスモデルに限らず、どの程度一般化可能か。
• RQ4 粒子から見た環境マルコフ連鎖 $\{\omega_n\}$ は、クエンチドパス性質の導出をどのように支援するか。
• RQ5 コンダクタンス分布にどのような条件を課すと、決定的定数を伴うクエンチドLILが成立するか。

主な発見

• 仮定1.1のもとで、クエンチド上界LIL $\limsup_{n \to \infty} \frac{d(X_0^\omega, X_n^\omega)}{n^{1/\beta} (\log \log n)^{1 - 1/\beta}} = C_1$ がほとんど確実に成立する。
• また、クエンチド下界LIL $\liminf_{n \to \infty} \frac{\max_{0 \leq k \leq n} d(X_0^\omega, X_k^\omega)}{n^{1/\beta} (\log \log n)^{-1/\beta}} = C_2$ がほとんど確実に成立し、これは下界の場合の新しい結果である。
• 環境シフトのエルゴディシティ（仮定1.3）のもとで、LILにおける定数 $C_1$ および $C_2$ が確率的ではなく決定的であることが示された。
• 結果は、上昇透過性透過クラスターや、下限で有界な非有界i.i.d. コンダクタンス、ガウス自由場や確率的インタラーレーションから生じるコンダクタンスを含む広範なRCMsのクラスに適用可能である。
• 証明手法は、パスごとのカップリングではなく、ヒートカーネル推定、環境マルコフ連鎖、バーキホフのエルゴディック定理の相互作用に依存する。
• LIL事象の0-1法則は、マルティンゲール収束とエルゴディシティに基づき確立され、クエンチド測度のもとでLIL事象の確率が0または1であることを示している。