[論文レビュー] Laws of the iterated logarithm for α-time Brownian motion

Erkan Nane|ArXiv.org|Aug 15, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、対称的 $\alpha$-安定過程によるブラウン運動の時間的サブオーディネートによって $\alpha$-time ブラウン運動を導入し、その過程の上限に関するチュング型の繰り返し対数法則を確立する。正規化された上限の liminf の正確な確率的極限を導出し、分数ラプラシアンの第一固有値を含む明示的な定数を提示する。さらに、$1<\alpha<2$ の範囲において、到達範囲と局所時間についても結果を拡張する。本研究は、反復ブラウン運動に対する既存の LIL 結果を、より広い自己相似的かつ非マルコフ過程のクラスへ一般化する。

ABSTRACT

We introduce a class of iterated processes called $α$-time Brownian motion for $0

研究の動機と目的

• $\alpha$-time ブラウン運動のパス特性を研究すること。これは、対称的 $\alpha$-安定過程による時間サブオーディネートによって得られる非マルコフ的かつ非ガウス的な自己相似過程である。
• 反復ブラウン運動（$\alpha=2$）および安定過程に対する既知の結果を拡張し、この過程の上限に関するチュング型の繰り返し対数法則を確立すること。
• $1<\alpha<2$ の範囲で、局所時間と到達範囲を定義し、それらの関数型の確率的漸近的挙動を分析すること。
• 到達範囲と局所時間の limsup および liminf の挙動に関する普遍的定数を証明し、Kesten の法則をこの新しい過程クラスへ一般化すること。

提案手法

• $Z_t = X(Y_t)$ として $\alpha$-time ブラウン運動を定義する。ここで $X$ は両側ブラウン運動、$Y_t$ は独立な対称的 $\alpha$-安定過程であり、$0<\alpha\leq2$ とする。
• 索引 $1/2\alpha$ の自己相似性を用いて上限過程を正規化し、スケーリングとモーメント推定を用いて、正規化された上限のチュング型 LIL を導出する。
• 時間の $\alpha$-安定過程の範囲を分割することで、独立な増分に分解する不重複化技術を適用し、互いに disjoint な区間上で独立な上限を定義する。
• 指数的モーメントの境界と Borel-Cantelli 論法を用いて、独立な上限の和の尾確率を制御し、確率的上界を得る。
• 到達範囲 $R^*(t)$ と局所時間 $L^*(x,t)$ を、恒等式 $t = \int L^*(x,t) dx \leq R^*(t) \cdot \sup_x L^*(x,t)$ を通じて総時間と関連付ける。これにより、両者の漸近的挙動を同時に分析可能となる。
• 区間 $[-1,1]$ 上の分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の第一固有値 $\lambda_\alpha$ に関する結果を活用し、LIL の定数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha$-time ブラウン運動について、$T\to\infty$ のとき $\sup_{0\leq t\leq T}|Z_t|$ の確率的漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 $\alpha \neq 2$ のとき、$\alpha$-time ブラウン運動に対してチュング型の繰り返し対数法則を確立できるか？
• RQ3 $1<\alpha<2$ のとき、到達範囲 $R^*(t)$ と局所時間 $\sup_x L^*(x,t)$ の limsup および liminf の挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 正規化された到達範囲と局所時間が確率的に有限で正の極限に収束するような普遍的定数が存在するか？

主な発見

• $\alpha \in (0,2]$ に対して、本稿では $\liminf_{T\to\infty} T^{-1/2\alpha} (\log\log T)^{(1+\alpha)/(2\alpha)} \sup_{0\leq t\leq T} |Z_t| = D_\alpha$ a.s. を証明する。ここで $D_\alpha = C_\alpha^{(1+\alpha)/2\alpha}$ であり、$C_\alpha$ は $[-1,1]$ 上の $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の第一固有値 $\lambda_\alpha$ を用いて明示的に定義される。
• 別の過程 $Z^1_t = X(|Y_t|)$ に対しても、同じチュング型 LIL が成り立ち、定数 $D^1_\alpha$ が異なる。これは時間過程における絶対値の影響を反映している。
• $1<\alpha<2$ の範囲で、正規化された到達範囲の limsup は $\limsup_{t\to\infty} \frac{R^*(t)}{(t/\log\log t)^{1/2\alpha} \log\log t} = c_R$ a.s. を満たす。ここで $c_R \in (0,\infty)$ は普遍的定数である。
• 同様に、正規化された局所時間の liminf は $\liminf_{t\to\infty} \frac{\sup_x L^*(x,t)}{(t/\log\log t)^{1-1/2\alpha}} = c_L$ a.s. を満たす。ここで $c_L \in (0,\infty)$ は普遍的定数である。
• これらの結果は、$\alpha$-安定過程の時間区間を分割し、独立な増分に分解した後、モーメント推定と Borel-Cantelli 論法を用いて得られる。
• 定数 $c_R$ および $c_L$ は普遍的であり、$\alpha$-安定過程の具体的な分布に依存せず、$\alpha$ のみに依存する。